Question

证明有且仅有一个实根 罗尔中值定理

求证：方程x^5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根.要求用反证发和罗尔中值定理
求证：方程x^5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根.
要求用反证发和罗尔中值定理

Answer 1

f（x）=x^5-5x+1
f（0）=1；f（1）=-3
又f是连续的,那么f（x）在(0,1)之间至少有一个实根
反设f在(0,1)之间有两个实根s,t
从而f（s）=f（t）=0,s≠t
从而根据罗尔定理 存在p∈(s,t),f ‘ （p）=0
f ’（x）=5x^4-5=5（x^4 -1）=5（x^2 +1）（x +1）（x-1）
p∈(s,t)包含于（0,1）,f ‘ （p）=0即
5（p^2 +1）（p +1）（p-1）=0
显然0<p<1,上式不可能成立,故假设不成立.从而f在(0,1)之间最多一个零点
综上,f（x）在(0,1)之间有且仅有一个实根,也就是
方程x^5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根</p<1,上式不可能成立,故假设不成立.从而f在(0,1)之间最多一个零点