Question

关于“统计量”“抽样分布”和“X2分布、t分布、F分布”的关系~！

我知道统计量是样本的函数，是对原始数据的整理。
抽样分布是统计量的概率分布。
课本上说卡方分布、t分布和F分布是在正态总体条件下求出的精确的抽样分布，可是我就是不理解，他们三个到底是哪个统计量的概率分布？还是有某个统计量被镶入到了这三个分布中？
为什么要构建三个这种形式的抽样分布？
他们分别所具有的直观意义是什么？

谢谢各位啦！~

Answer 1

以X^2分布为例子吧
x1,x2..xn都遵守N(0,1)的正态分布，则
x1^2+x2^2+...遵守X^2(n)分布
相当于形成了一个新统计量Y=x1^2+x2^2+...
是新的统计量！
而t分布，F分布也都是新统计量的分布
只不过他们都是正态总体中的抽样x1,x2,x3...组成的函数
就好象你知道x,y独立，且其分布你也知道，让你求x^2+y^2的分布一个道理，只不过抽样都是独立同分布而已

Answer 2

统计量是样本的函数，样本具有二重性，正是由于样本本身就可以看作一个随机变量，所以统计量可以看作是随机变量的函数，也就是说，统计量是个随机变量，随机变量的性质就可以出概率分布来描述。
如上所说的，这三大统计量可以对就出三大抽样分布。比如，你从标准正态总体中抽出简单随机样本X1,X2,X3……，构造卡方统计量X1^2+X2^2+X3^2……，这个统计量对应的分布就是卡方分布。
这三种分布是统计中最常用的三种分布，它们各自用的场合不同，卡方分布最常用的是拟合优度检验，而t分布是在小样本场合下的正态分布（大样本场合下可以用正态分布来近似），有时候在信息不足的情况下，只能用t分布，比如在整体方差不知的情况下，对总体均值的估计和检验通常要用t统计量，这里自由度要比方差已知情况上构造的正态统计量少了一个自由度（这是可以理解的，因为损失信息肯定要损失自由度的），而f分布多用于比例的估计和检验。
这三种分布是有联系的，在有时可以相互转换并且是等价的。比如在多元回归的显著性检验中，f检验和t检验在一元的情况下是等价的。