Question

求大佬解释下这道求幂级数和函数的题，我算出来的答案和参考答案不一样，求把我错误的地方指出给出正确的

答案是x/（1-x∧2）∧2

Answer 1

你的计算从分式除法求导的时候错了
S(x) = ∑n=1->∞ nx^(2n-1) 将S(x) 先做一次积分然后再进行求导一次原等式值不变。
[∫S(x) ] ’= [ ∑n=1->∞ n/2n*x^(2n)]' 可以先将系数提出去
= (1/2)[ ∑n=1->∞ x^(2n)]'
= (1/2)[x^2*(1-x^∞)/(1-x^2)]' 当x∈(-1, 1)时，此函数收敛
=(1/2)[x^2/(1-x^2)]'
= (1/2)[2x*(1-x^2)-x^2(-2x)]/(1-x^2)^2
= (1/2)*2x/(1-x^2)^2
=x/(1-x^2)^2.
收敛域 x∈(-1, 1).

追问

为什么一定要把1/2提出去，我不太明白这个地方，难道做其他类似的题的时候全部都要把常数提出去吗

追答

将常数提出去是为了方便计算，但是如果不想提出去的话，也可以进行计算的。按照你做题的过程如下。
[∫S(x) ] ’= [ ∑n=1->∞ n/2n*x^(2n)]'
= {∑n=1->∞ [x^(2n)]/2}' 这里需要注意的是它的首项是（x^2)/2，而它的公比是x^2
= {[(x^2)/2]*(1-x^∞)/[1-(x^2)]}' 当x∈(-1, 1)时，此函数收敛
={x^2/[2*(1-x^2)]}'
= {2x*[2*(1-x^2)]-x^2*[2*(-2x)]}/[4*(1-x^2)^2]
= 4x/[4*(1-x^2)^2]
=x/(1-x^2)^2.
收敛域 x∈(-1, 1).

Answer 2

详细步骤如图，你对照一下

Answer 3

你的计算，第一步就错了。应为：
S(x) = ∑<n=1,∞>nx^(2n-1) = (1/2)∑<n=1,∞>2nx^(2n-1)
= (1/2)[∑<n=1,∞>x^(2n)]' = (1/2)[x^2/(1-x^2)]'
= (1/2)[2x(1-x^2)-x^2(-2x)]/(1-x^2)^2= x/(1-x^2)^2.
收敛域 x^2 < 1, x∈(-1, 1).
提出常数 1/2 , 是为了计算简洁。
遇到常数，最好提到和号前面。当然不提也不算错误。
S(x) = ∑<n=1,∞>nx^(2n-1) = ∑<n=1,∞>(1/2)·2nx^(2n-1)
= [∑<n=1,∞>(1/2)x^(2n)]' = (1/2)[x^2/(1-x^2)]'
= (1/2)[2x(1-x^2)-x^2(-2x)]/(1-x^2)^2= x/(1-x^2)^2.
你第一步求导就错了：
S(x) = ∑<n=1,∞>nx^(2n-1) 两边求导是：
S'(x) = ∑<n=1,∞>n(2n-1)x^(2n-2)
不是你写的式子 ！

追问

为什么一定要把1/2提出去，我不太明白这个地方，难道做其他类似的题的时候全部都要把常数提出去吗

追答

见解答补充。

追问

那我没有提出去常数为什么答案没算对，是哪里出了问题

追答

见解答补充。