Question

直角三角形内切圆半径公式推导是什么？

Answer 1

直角三角形的内切圆半径公式：r=(a+b-c)/2推导如下：

设Rt△ABC中,∠C＝90度,BC＝a,AC＝b,AB＝c内切圆圆心为O，三个切点为D、E、F,连接OD、OE

显然有OD⊥AC，OE⊥BC，OD＝OE

所以四边形CDOE是正方形

所以CD＝CE＝r

所以AD＝b－r，BE＝a－r

因为AD＝AF，CE＝CF

所以AF＝b－r，CF＝a－r

因为AF＋CF＝AB＝r

所以b－r＋a－r＝r

内切圆半径r＝(a＋b－c)/2

即内切圆直径L＝a＋b－c

直角三角形的判定方法：

判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。

判定2：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形。

判定3：若a的平方＋b的平方=c的平方，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。

判定4：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

判定5：两个锐角互余的三角形是直角三角形。

Answer 2

对于一个直角三角形，即一个角为90度的三角形，其内切圆半径公式推导如下：

假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边（即假设为直角的对边）为c。

• 首先，根据勾股定理可知：a^2 + b^2 = c^2。

• 内切圆与直角三角形的三边都相切，因此从内切圆心到三条边的垂直距离等于内切圆的半径r。

• 设内切圆与直角边a、b和斜边c的切点分别为A、B和C，内切圆心为O。

• 可以得到两个直角三角形AOB和AOC，其中AO是半径r，BO和CO分别是两条直角边a和b与斜边c的线段。

根据相似三角形的性质，可以得出以下比例关系：AO/AB = BO/BA = CO/CA。

• 由于AO = r，并且AO/AB = AO/AC，所以r/AB = r/AC。

• 进一步化简得：AB = AC。

• 根据勾股定理可知：c^2 = a^2 + b^2 = 2AB^2，所以 AB = AC = c/√2。

• 将AB代入r/AB = r/AC的比例关系中得到：r/AB = r/(c/√2)。

• 化简上述式子得到内切圆半径r的公式：r = c/2√2。

因此，对于任意直角三角形，其内切圆的半径r等于斜边长c除以2√2。

Answer 3

内切圆半径为  r 

设AC=b , BC=a , AB=c , 圆o 半径为r  且Rt△ABC中 a^2+b^2=c^2

S△ABC=S△OAC+S△OBC+S△OAB

即 1/2ab= 1/2br+1/2ar+1/2cr=1/2r(a+b+c)

      ab=r(a+b+c)

      r=ab/(a+b+c)

      r=[ab(a+b-c)]/[(a+b+c)(a+b-c)]

      r=[ab(a+b-c)]/[(a+b)^2-c^2]

      又因为 a^2+b^2=c^2    所以 

      r=[ab(a+b-c)]/[(a+b)^2-(a^2+b^2)]

      r=[ab(a+b-c)]/(2ab)

      r=1/2(a+b-c)

Answer 4

直角三角形内切圆半径的公式推导如下：
假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c，直角三角形的内切圆半径为r。
1. 首先，我们可以利用直角三角形的两条直角边和斜边之间的关系，得出a、b、c之间的关系式：a + b = c。
2. 接下来，利用直角三角形的面积公式：面积 = 1/2 * a * b，以及面积公式：面积 = 半周长 * r，我们可以得出半周长为 (a + b + c) / 2。
3. 然后，将步骤2中的半周长代入面积公式，得到：1/2 * a * b = [(a + b + c) / 2] * r。
4. 将步骤1中的a + b = c代入上述式子，得到：1/2 * a * b = [(c + c) / 2] * r。
5. 化简后得到：ab = cr。
6. 最后，将上述式子变形为r的形式，即可得到直角三角形内切圆半径的公式：r = ab / (a + b + c)。

Answer 5

直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。直角三角形内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆。
要推导直角三角形内切圆的半径公式，我们可以利用直角三角形的性质和圆的性质进行推导。
考虑一个直角三角形ABC，其中∠C是直角，BC是斜边，AC是直角边。设内切圆的圆心为O，半径为r。
首先，我们知道内切圆与三角形的三条边相切。由于直角三角形的两条直角边（AC和BC）垂直于直角边（AB），所以内切圆的半径与直角边的交点构成直角。即AO ⊥ AC 和 BO ⊥ BC。
另外，根据圆的性质，半径与切线垂直。所以AO和BO与内切圆的切点D和E垂直。
现在我们可以利用这些性质推导内切圆半径的公式。
首先考虑三角形ABC的面积。由于直角三角形的面积可以表示为S = (1/2) × AC × BC，而由内切圆的切点D和E，我们可以得到两个小三角形ACD和BCE。
根据小三角形的面积公式，ACD的面积为S1 = (1/2) × AD × AC，BCE的面积为S2 = (1/2) × BE × BC。
由于ACD和BCE是三角形ABC的内切圆与三角形的交点D和E构成，所以S1 + S2 = S。
将上述面积公式代入，我们有(1/2) × AD × AC + (1/2) × BE × BC = (1/2) × AC × BC。
整理可得 AD × AC + BE × BC = AC × BC。
根据相似三角形的性质，我们有AD/AC = AO/AB，BE/BC = BO/AB。
将上述相似三角形关系代入，我们得到 AO/AB × AC + BO/AB × BC = AC × BC。
根据直角三角形的性质，我们有AC² + BC² = AB²。
将上述关系代入，我们得到 AO/AB × (AC² + BC²) = AC × BC。
化简可得 AO/AB = r/(AC + BC)。
由于∠C是直角，所以sin(∠C) = AC/AB，cos(∠C) = BC/AB。
将上述关系代入，我们得到 AO/AB = r/(AB × cos(∠C))。
化简可得 r = AB × cos(∠C)。
因此，我们推导出了直角三角形内切圆的半径公式：r = AB × cos(∠C)。
这个公式告诉我们，直角三角形内切圆的半径取决于斜边AB的长度以及直角∠C的余弦值。