Question

二阶微分方程y''+5y'+4y=sinx求解，y(0)=dy/dx (0)=0？

Answer 1

y"+5y′+4y＝0。
因为其特征方程r²+5r+4＝0的根-1和-4。
所以，y＝±i不是其根。
而非齐次常系数线性方程，其通解是对应的其次方程通解+该方程的一个特解。
该齐次方程的通解y＝C₁e^-x+C₂e^-4。
设其通解为y＝Asinx+Bcosx
y′＝Acosx-Bsinx
y"＝-Asinx-Bcosx
y"+5y′+4y＝（3A-5B）sinx+（5A+3B）cosx＝sinx
有3A-5B＝1，5A+3B＝0
A＝3/34，B＝-5/34
该非齐次方程的一个特解y＝（3sinx-5cosx）/34
该非齐次方程的通解为
y＝C₁e^-x+C₂e^-4x+（3sinx-5cosx）/34

Answer 2

y"+5y′+4y ＝ 0。特征方程 r²+5r+4 ＝ 0 ，得 r1=-1, r2 =-4。
设其特解为 y ＝ psinx+qcosx，则 y′ ＝ pcosx-qsinx，y"＝-psinx-qcosx，
y"+5y′+4y ＝ (3p-5q)sinx + (5p+3q)cosx ＝ sinx,
3p-5q ＝ 1，5p+3q ＝ 0 解得 p ＝ 3/34，q ＝-5/34,
该非齐次方程的特解 y＝(3sinx-5cosx)/34
通解为 y ＝ Ae^(-x) + Be^(-4x) + (3sinx-5cosx)/34
y' ＝ -Ae^(-x) - 4Be^(-4x) + (3cosx+5sinx)/34
y(0) = 0, A + B - 5/34 = 0
y'(0) = 0, -A - 4B + 3/34 = 0,
解得 B = -1/51, A = 1/6
满足初始条件的特解是
y ＝ (1/6)e^(-x) - (1/51)e^(-4x) + (3sinx-5cosx)/34