设a,b,c为三角形的三边,求证:a/(1+a)+b/(1+b)>c/(1+c)
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根据要证不等试的结构特点,可采用构造函数法:
f(x)=x/(1+x),
因为f(a)+f(b)=a/(1+a)+b/(1+b)>a/(a+b+1)+b/(a+b+1)=f(a+b)
所以f(a)+f(b)>f(a+b)
又因为a,b,c为三角形的三边,所以a+b>c,
且f(x)=x/(1+x)=1-1/(1+x)在0到正无穷上是增函数
所以f(a+b)>f(c)
所以f(a)+f(b)>f(c)
故原不等式成立.
f(x)=x/(1+x),
因为f(a)+f(b)=a/(1+a)+b/(1+b)>a/(a+b+1)+b/(a+b+1)=f(a+b)
所以f(a)+f(b)>f(a+b)
又因为a,b,c为三角形的三边,所以a+b>c,
且f(x)=x/(1+x)=1-1/(1+x)在0到正无穷上是增函数
所以f(a+b)>f(c)
所以f(a)+f(b)>f(c)
故原不等式成立.
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