Question

y=-x^2＋2x－4，x∈[0，4]的值域及最大值，最小值？

Answer 1

解：y＝-x^2+2x-4，则
y＇＝-2x＋2＝-2（x-1），令y＇＝0，则x＝1
当x＞1时，y＇＜0，原函数是减函数；
当x＜1时，y＇＞0，原函数是增函数；
∴当x∈[0，4]时，x＝1时y最大值＝-3，x＝-4时y最小值＝-28，故此时y的值域是[-3，-28]

Answer 2

y = -x^2＋2x－4 = -(x-1)^2 - 3，x∈[0，4]
y(0) = -4, y(1) = -3, y(4) = -16+8-4 = -12，
x∈[0，4]的值域 y∈[-12，-3]，最大值 y(1) = -3，最小值 y(4) = -12

Answer 3

y=-x^2＋2x－4
y=-（x²-2x+1）-4+1
y=-（x-1）²-3
x=1时，y最大=-3
x=0时，y=-1-3=-4
x=4时，y=-12
x∈[0，4]的值域及最大值是-3，最小值是-12

Answer 4

令f(x)=y=-x^2+2x-4①，x∈[0，4]，
对①中x进行一次求导：y'=-2x+2，
对①中x进行二次求导：y''=-2<0⇒①的函数图像凸，有最大值，

令y'=0，则x=1，而1∈[0, 4]，则max(y)=f(1)=-3
当x∈[0, 1)时y'>0，f(x)↗

当x∈(1, 4]时y'<0，f(x)↙
f(0)=-4
f(4)=-4×4+2×4-4=-12
f(4)<f(0)
min(y)=f(4)=-12
f(x)∈[-12, -3]