Question

证明：设G是有限群,n整除|G|,且G中仅有一个n阶子群H,则H是G 的正规子群.？

Answer 1

对于任意g属于G,考虑群N=gHg^(-1)
现在证N是群,首先可以得到的是N中元素个数与N中的元素个数相等
任取a,b属于N,则存在x,y属于H,使得
a=gxg^(-1),b=gyg^(-1)
所以ab^(-1) = gxg^(-1)gy^(1)g^(-1) = gxy^(-1)g^(-1)
而xy^(-1)属于H
所以ab^(-1)属于N
所以N是群
所以N也是G的n阶子群
而G只有一个n阶子群
所以N=H
所以H是G的正规子群,2,作点修改：对于任意g属于G，考虑群N=gHg^(-1)
现在证N是群，首先可以得到的是N中元素个数与H中的元素个数相等
任取a,b属于N，则存在x,y属于H，使得
a=gxg^(-1)，b=gyg^(-1)
所以ab = gxg^(-1)gyg^(-1) = gxyg^(-1)
而xy属于H
所以ab属于N
所以N是群
所以N也是G的...,4,任意g属于G，考虑群N=gHg^(-1)
N中元素个数与H中的元素个数相等
任取a,b属于N，则存在x,y属于H，使得
a=gxg^(-1)，b=gyg^(-1)
所以ab^(-1) = gxg^(-1)gy^(1)g^(-1) = gxy^(-1)g^(-1)
而xy^(-1)属于H
所以ab^(-1)属于N
所以N是群
所以N也是...,2,

Answer 2

不一定。反例：设G={e,a,b,c,d}是群，且满足以下条件：1. e是单位元素；2. a,b,c,d的乘法表如下：\\begin{array}{c|ccccc} \u0026e\u0026a\u0026b\u0026c\u0026d \\\\ \\hline a\u0026a\u0026b\u0026e\u0026d\u0026c \\\\ b\u0026b\u0026e\u0026a\u0026c\u0026d \\\\ c\u0026e\u0026d\u0026c\u0026b\u0026a \\\\ d\u0026d\u0026c\u0026d\u0026a\u0026b \\end{array}可以验证G是群，且它只有两个n阶子群：{e,a,b,c,d}和{e}。但是{e,a,b,c,d}不是G的正规子群，因为它不满足对于任意g∈G和h∈{e,a,b,c,d}，都有ghg^{-1}∈{e,a,b,c,d}。举个例子，a和d是G中的元素，但是ada^{-1}=c?{e,a,b,c,d}。因此，H={e}是G的唯一n阶子群，但它不是G的正规子群。