Question

什么原因造成了几何重数和代数重数

Answer 1

代数重数指的是方程跟上的重数，几何重数是指几何图案在该点上的重数。

下面让我们来简单分析一下：代数重数指相同根的个数；几何重数指特征向量生成线性空间的维数。例如几何重数＝5，即表示线性空间的基向量有5个，或者说线性无关特征向量＝5个。一般情况是： 几何重数≤代数重数。

在矩阵运算中，该矩阵有特征值是重根，则该特征值所对应的特征向量所构成空间（即特征子空间，也是方程组(λI-A)x=0）的维数，称为几何重数。

几何重数和代数重数的联系：复合矩阵A可对角化的充要条件是A的每个特征值的几何重数等于代数重数。复合矩阵A的每个特征值对应的几何重数小于或等于代数重数。

几何重数和代数重数的区别：性质不同，几何重数：在矩阵运算中，该矩阵有特征值是重根，则该特征值所对应的特征向量所构成空间（即特征子空间，也是方程组(λI-A)x=0）的维数，称为几何重数。代数重数：指方程的根的重数。

表示不同，几何重数：表示空间的维数。代数重数：表示方程的根是几重根。

Answer 2

在矩阵运算中，该矩阵有特征值是重根，则该特征值所对应的特征向量所构成空间（即特征子空间，也是方程组(λI-A)x=0）的维数，称为几何重数。
代数重数：指方程的根的重数，也就是说，方程的根是几重根。（举例：(x-2)3=0，这个方程的根为x=2，这个根是3重的，因此x=2的代数重数为3）。
几何重数相关定理：
复方阵A可对角化的充分必要条件是A的每个特征值的几何重数与代数重数相等。
复方阵A的每个特征值对应的几何重数小于等于代数重数。