Question

一阶偏导数的连续性

什么叫一阶偏导数的连续性？怎么判断？
在用高斯公式时，不知道怎么判断一阶偏导数的连续性，请高手指点！
一阶偏导数的连续性是不是说对x对y对z的偏导数都必须连续，才叫一阶偏导数连续？高斯公式中P Q R的一阶偏导数连续指的是什么？

Answer 1

一阶连续偏导数是指某个特定的偏导数存在并连续，并且描述的对象是这个偏导数。

当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0) 与 f'y(x0,y0)都存在时，我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导，那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。

此时，对应于域 D 的每一点 (x,y) ，必有一个对 x (对 y )的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。简称偏导数。

x方向的偏导：

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

y方向的偏导同样，把 x 固定在 x0，让 y 有增量 △y ，如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。记作f'y(x0,y0)。

Answer 2

一阶偏导数的连续性是说对x对y对z的偏导数都必须连续
它的意思按照导数连续的定义，就是在空间的每一点x的左导数=右导数，对y和z也是一样的要求
在高斯公式中如果一阶微分不连续的话P Q R的积分就不能写成面积分的形式，因为可能存在无穷大的函数值（即函数的第二类间断点），这样的积分没有意义

Answer 3

一阶偏导数的连续性是对x对y对z的偏导数都要必须连续的！