Question

高等数学利用拉格朗日证明不等式的问题

如图所示。
我不太理解为什么拉格朗日能够用于证明不等式的问题
1、首先，拉格朗日说至少存在一点使得导数值等于区间亮点之间的割线与X=1这条直线夹角的正切值吧，既然如此，这一点应该是客观存在的，而且有多少还不一定能够知道，老师却是人为指定那一点的值让不等式得证，这不是矛盾了吗？人为指定跟客观存在之间看上去没有必然的联系吧，所以说，拉格朗日的定理跟证明不等式看上去风马牛不相及吧。

2、其次，即使人为指定的点都存在，即变成不等号两边的函数，一个取0，一个取X，这样取值后，又怎能保证符合拉格朗日定理？

Answer 1

你好！

你理解的非常正确，那个点（或者可能有不止一个）是依存与函数f和区间[a,b]而客观存在的，如果直接人为指定那个点的值，那是绝对错误的！

但是我们仍然可以运用拉格朗日中值定理来证明不等式，原因并不在于我们可以指定任意一点c的值，而是在于我们可以找出f'(c)的范围，因为c是在区间(a,b)上的，所以这个范围有可能能被找到。找到了f'(c)的范围，从而也就找出(f(x)-f(a))/(x-a)的范围，最后找出f(x)的范围，从而证明不等式。

就以你的最后那个题目为例说明如何运用f'(c)的范围找f(x)的范围：
首先，设f(x)=ln(x+1),根据对数函数的可导性，我们有：对于任意的正数x，函数f在[0,x]上连续，（0，x）上可导，从而满足拉格朗日中值定理的前提条件。
所以在(0,x)上存在一点c使得：(f(x)-f(0))/(x-0)=f'(c)，也就是：
f(x)=xf'(c)
然后，根据我上面提到的，我们可以确定f'(c)的范围：
因为f'(x)=1/(x+1)，所以f'(c)=1/(1+c)并且0<c<x，根据“分母越大，分数值越小”原理，我们很容易发现当c为0时，f'(c)最大，当c为x时，f'(c)最小，也就是说，f'(c)的范围是：
1/(1+x) < f'(c) < 1
带入上式“ f(x)=xf'(c) ”
就有
x/(1+x) < f(x) < x
证毕。

回顾上例，我们的c并不是人为指定的，但是我们知道f'(c)的范围，f'(c)的范围即为拉格朗日中值定理等式左边那项的范围，f的范围也就随之而定了。

Answer 2

构建两个函数，反证法证明。

Answer 3

拉格朗日定理：设f在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则存在一点
c属于(a,b)，使得f(a)-f(b)=f'(c)(a-b)
既然定理说存在这么一点，我们就可以直接拿来用，至于到底有几个可不管。

对于这个不等式的证明，要用拉格朗日来证明它，先可以取f(x)=ln(1+x)
f在[0,x]满足连续，在(0,x)上可导。
则由拉格朗日定理知，存在c属于开区间(0,x)，使得f(x)-f(0)=f'(c)(x-0)
即ln(1+x)=x/(1+c) ,0<c<x
而x/(1+x)<x/(1+c)<x
所以x/(1+x)<ln(1+x)<x (x>0)

Answer 4

f(x)=In(x),g(x)=x
存在&满足x<&<x+1，使[f(x+1)-f(x)]/[g(x+1)-g(x)]=f'(&)/g'(&)，这步能理解吧。
而f'(&)/g'(&)=1/&,由x<&<x+1，1/(x+1)<1/&<1/x

回代，得证。。关于定理的理解，
（这一点应该是客观存在的，而且有多少还不一定能够知道，老师却是人为指定那一点的值让不等式得证，这不是矛盾了吗？）
不是人为制定那一点，是从满足条件的点中任意取一点，都能使不等式得证的，不矛盾。
拉格朗日的定理跟证明不等式的核心思想是将不等式转化为一个有范围的不确定的值，利用这个值的范围进行缩放，证明不等式

如果不明白，百度Hi我吧，1个小时之内有时间给你解答

Answer 5

6:3≠7:2
≠