Question

9.求微分方程 y'+4y=8 满足初值条件y(0)=3的特解

Answer 1

先求特征方程的解：
y' + 4y = 0
y' = dy/dx = -4y
dy/y = -4dx
两边同时求积分，得到：
∫dy/y = -4∫dx
lny = -4x + c
y = e^c * e^(-4x) = Y * e^(-4x)
当 Y 也是 x 的函数时，则有：
y' = dy/dx
= Y' * e^(-4x) + Y * e^(-4x) * (-4)
= Y' * e^(-4x) -4Y * e^(-4x)
= Y' * e^(-4x) - 4y
把这个结果代入原微分方程，得到：
y' + 4y = Y' * e^(-4x) = 8
则：
Y' = dY/dx = 8 * e^(4x)
dY = 8 * e^(4x) * dx
两边积分，得到：
∫dY = 8∫e^(4x) * dx
Y = 2 * e^(4x) + c'
那么：
y = Y * e^(-4x)
= 2 + c' * e^(-4x)
把初始条件 y(0) = 3 代入，得到：
y(0) = 2 + c' * e^(4 * 0) = 3
所以，c' = 1
那么，该微分方程的解为：
y = 2 + e^(-4x)

Answer 2

dy/dx = 8-4y = 4(2-y)
dy/(2-y) = 4dx
-ln(2-y) = 4x + lnC
1/(2-y) = Ce^(4x)
Ce^(4x)(2-y) = 1
y(0) = 3 代入， 得 -C= 1， C = -1，
特解 e^(4x)(2-y) = -1

Answer 3

y'+4y=8
e^(4x).(y'+4y)=8e^(4x)
d/dx(e^(4x).y) = 8e^(4x)
e^(4x).y =2e^(4x) + C
y(0)=3
3=2+C
C=1
e^(4x).y =2e^(4x) + 1
y=2+e^(-4x)