Question

齐次线性微分方程通解为何？

Answer 1

特征方程r+1=0；r=-1；通解y=Ce^(-x)；设特解y=axe^(-x)；y'=ae^(-x)-axe^(-x)。

代入原方程得；ae^(-x)-axe^(-x)+axe^(-x)=e^(-x)；解得a=1；因此，特解y=xe^(-x)；通解为y=Ce^(-x)+xe^(-x)。

扩展资料：

方法一:求出齐次方程y'+y=0  (r'+1=0,r'=-1) 的通解为y=Ce^-x    ;再求y'+y=e^-x的一个特解,
e^(-x)，q=-1, r'=-1；设解为y=Cxe^-x；代入得C=1，即y=xe^-x为一特解；所以该方程解为y=Ce^-x+xe^-x=(x+C)e^-x。

方法二：方程变形为y'e^x+ye^x=1；即(ye^x)'=1；两边积分得ye^x=x+c,故y=(x+c)e^-x。

参考资料来源：百度百科-微分方程的通解

Answer 2

齐次线性微分方程的通解是指能够满足方程所有特解的一般解。齐次线性微分方程的标准形式如下：
dy/dx + p(x)y = 0
其中，p(x) 是关于自变量 x 的连续函数。
齐次线性微分方程的通解可以表示为：
y = Ce^(-∫p(x)dx)
其中，C 是任意常数。
这个通解表明，齐次线性微分方程的解可以通过指数函数的形式来表示，其中指数的底数是自然常数 e。通过将任意常数 C 加入通解中，我们可以得到方程的所有特解。
需要注意的是，这里的齐次线性微分方程只考虑了一阶的情况。对于更高阶的齐次线性微分方程，通解的形式会有所不同，但基本的思想仍然是类似的。