Question

一道函数的数学题

构造一个函数f(x)满足
1.f[(x1+x2)/2]≤[f(x1)+f(x2)]/2
2.定义域为(0,+∞)
3.值域为(0,1)
4.f(1)＞1/2

补充一句：
目前我构造了一个反正切的函数
f(x)=2/∏arctan[2/(√x)]
请尽量构造其他形式的函数
目前我已通过计算论证符合要求的函数有无限个
请给出较详细的说明论证过程 并给出验证符合条件的过程
我再重申一遍定义域是(0,+∞)不等于你可以从一个定义在比这个范围大的函数上截取一部分比如在定义在R上你取在(0,+∞)部分的函数
另：我构造的是g(x)满足
g(x)∈(-m,0) g"(x)>0 定义域是(0,+∞)
这样的g(x)我求了一堆
f(x)显然为g(x)的原函数……
但是由g(x)求f(x)原函数时有点变态所以才来求教

Answer 1

已知y=f(x)是奇函数
x<0时f(x)=
—f(-x）=—（-x(1-x)）=x(1-x)。

Answer 2

就是说Q在以AB为直径的圆上。估计用向量来做会比较快点，就是QA向量与QB向量的成积等于-1。

Answer 3

设它的表达式
为y=x²+bx+c
代入点(1,0)和(0,1)
b+c=-1
c=1
b=-2
所以它的表达式
为y=x²-2x+1

Answer 4

如果你学过向量试试用坐标向量解一下，垂直向量的乘积为零，很久没碰数学书不知道能不能帮上你？！

Answer 5

这个可以么？
y=a^(√x)

0.5<a<1
应该是凹函数