Question

一道函数的数学题

构造一个函数f(x)满足
1.f[(x1+x2)/2]≤[f(x1)+f(x2)]/2
2.定义域为(0,+∞)
3.值域为(0,1)
4.f(1)＞1/2

补充一句：
目前我构造了一个反正切的函数
f(x)=2/∏arctan[2/(√x)]
请尽量构造其他形式的函数
目前我已通过计算论证符合要求的函数有无限个
请给出较详细的说明论证过程 并给出验证符合条件的过程
我再重申一遍定义域是(0,+∞)不等于你可以从一个定义在比这个范围大的函数上截取一部分比如在定义在R上你取在(0,+∞)部分的函数
另：我构造的是g(x)满足
g(x)∈(-m,0) g"(x)>0 定义域是(0,+∞)
这样的g(x)我求了一堆
f(x)显然为g(x)的原函数……
但是由g(x)求f(x)原函数时有点变态所以才来求教

Answer 1

由条件1可知该函数为下凸函数；
指数函数f（x）=c^（-x）在2的条件下满足条件3
为了满足条件4，C可取大于1小于2的任何数。
构造结束。有无数个答案。

Answer 2

y与X的平方成正比,设它的解析式为：Y=K1X的平方，
X的平方与Z成反比，设它的解析式为：X的平方=K2/Z
所以Y=（K1X）
*（K2/Z）
Y=（K1*k2）/Z

Answer 3

代入得到
n=19m²-98
这样m+n=19m²+m-98
于是上面的题目就转化为了二次函数求最小值
因为开口向上，所以对称轴是x=-1／38的时候取到最小值
因为A在第一象限，mn都要是非负整数
所以画图得到m=3时，n=73
此时m+n=76最小

Answer 4

第一象限则m>0,n>0
n=19m²-98
所以m+n=19m²+m-98
=19(m+1/38)²-7449/76
因为m和n是正整数
所以m+n>=2
所以19m²+m-98>=2
19m²+m-100>=0
m<=(-1-√7601)/38,m>=(-1+√7601)/38
2<(-1+√7601)/38<3
所以m最小=3
m+n=19(m+1/38)²-7449/76
m>-1/38时是增函数
所以m=3，m+n最小=76

Answer 5

f(10.5)=f(8.5)=f(6.5)=f(4.5)=f(2.5)=f(0.5)
此时满足0<x<1,f(0.5)=0.5