Question

讨论关于x的方程lg（x-1）+lg（3-x）=lg(a-x)的根的个数

Answer 1

lg(x-1)(3-x)=lg(a-x)
(x-1)(3-x)=a-x
x²-5x+(a+3)=0
若判别式小于0
25-4(a+3)<0,a>13/4
无解

a=13/4，有一个解x=5/2
代入原方程，成立

a<13/4,x²-5x+(a+3)=0有两个解
x=[5±√(13-4a)]/2

真数大于0
x-1>0,3-x>0,a-x>0
1<x<3,x<a

1<[5+√(13-4a)]/2<3
-3<√(13-4a)<1
所以0<=√(13-4a)<1
0<=13-4a<1
-1<4a-13<=0
3<a<=13/4

1<[5-√(13-4a)]/2<3
-1<√(13-4a)<3
所以0<=√(13-4a)<3
0<=13-4a<9
-9<4a-13<=0
1<a<=13/4

综上
a<=1,无解
1<a<=3,1个解
3<a<13/4,两个解
a=13/4,1个解
a>13/4,无解

Answer 2

lg(x-1)(3-x)=lg(a-x)
因为 f(x)=lgx是单调递增函数
所以 (x-1)*(3-x)=a-x
即 x^2-5x+3+a=0
△=13-4a
a=13/4 有一个根
1<a<13/4 有2个根
a<=1,a>13/4时没有根

Answer 3

lg(x-1)(3-x)=lg(a-x)
(x-1)(3-x)=a-x
x²-5x+(a+3)=0
若判别式小于0
25-4(a+3)<0,a>13/4
无解
a=13/4，有一个解x=5/2
代入原方程，成立
a<13/4,x²-5x+(a+3)=0有两个解
x=[5±√(13-4a)]/2
真数大于0
x-1>0,3-x>0,a-x>0
1<x<3,x<a
1<[5+√(13-4a)]/2<3
-3<√(13-4a)<1
所以0<=√(13-4a)<1
0<=13-4a<1
-1<4a-13<=0
3<a<=13/4
1<[5-√(13-4a)]/2<3
-1<√(13-4a)<3
所以0<=√(13-4a)<3
0<=13-4a<9
-9<4a-13<=0
1<a<=13/4
综上
a<=1,无解
1<a<=3,1个解
3<a<13/4,两个解
a=13/4,1个解
a>13/4,无解