Question

为什么无理数比有理数多

越详细越好，我（初二）要是弄懂了追加20分，求求求求！！！！

Answer 1

因为任意两个有理数之间存在着无限多个无理数。

全体实数可以覆盖整个数轴，而全体有理数不能覆盖整个数轴。任取两个相邻的有理数，则它们之间必存在无限多个无理数。

无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，它会是有无限位数、非循环的小数。 常见的无理数有大部分的平方根、π和e（其中后两者同时为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。 

证明： 设有理数有N个，N个有理数和根号2相乘就得到（N-1）个无理数，同样的道理，N个有理数和根号3相乘也得到（N-1）个无理数，得：无理数有（2N-2）个。

扩展资料：

有理数a,b的大小顺序的规定：如果a-b是正有理数，则称当a大于b或b小于a，记作a>b或b<a。任何两个不相等的有理数都可以比较大小。

有理数集与整数集的一个重要区别是，有理数集是稠密的，而整数集是密集的。将有理数依大小顺序排定后，任何两个有理数之间必定还存在其他的有理数，这就是稠密性。整数集没有这一特性，两个相邻的整数之间就没有其他的整数了。

有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。

参考资料来源：百度百科-有理数

参考资料来源：百度百科-无理数

Answer 2

简单说就是任意两个有理数之间存在着无限多个无理数。

全体实数可以覆盖整个数轴，而全体有理数不能覆盖整个数轴。任取两个相邻的有理数，则它们之间必存在无限多个无理数

首先说明什么是“多”。有理数和无理数不对等，即不能建立一一对应关系。而如果两个集合可以建立一一对应关系，则说它们是对等的（即“一样多”）。
无穷集合的对等与有限集的一样多在直观上可能是不同的，如整数和偶数是可以一一对应的（n对应2n），因而它们是对等的。

因为有理数可以写成整数分数的形式，因此有理数和整数对儿对等；又因为整数对儿(0, 0)、(0, 1)、(1, 0)、(1, 1)……可以排成有序的一列（正负可以交错排列），因此整数对儿和自然数也对等。
同样的，由于无理数有1.1415926……，2.1415926……，3.1415926……，因此无理数的一部分可以与自然数建立一一对应关系，它们是对等的。因此无理数不会比自然数少，也就不会比有理数少。
我们现在只要说明无理数与自然数不能对等。

我们用反证法。反设无理数可以排成一列（从而可以编号1、2、3……）：
x.xxxx……
x.xxxx……
……
我们可以找出一个新的无理数，它的第一位与上面数列中的第一个数不同，第二位与数列中的第二个数不同，……从而这个新无理数就不在数列中，这是一个矛盾。此矛盾说明无理数不能排成一列，即无理数比自然数多，从而比有理数多。

Answer 3

这个问题有点复杂，你还没学到。要用到极限的知识。虽说有理数和无理数都是无穷的，看起来无法比较，但是无理数是比有理数多的。不妨考虑区间[0，1]的有理数，因为有理数是分数，所以依分母从小到大的顺序，可以将他们排成一个数列，即0，1，1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,........其中去掉了重复的数字。显然，[0 ,1]上的所有有理数都在这个数列里。又因为点是没有长度的，所以对以任意的a>0可以用一个长度为a/2的区间将0包住，用一个长度为a/4的区间将1包住，用一个长度为a/8的区间将1/2包住，.........这些区间的长度和是a/2+4/a+a/8+.....=a[1-(1/2)^n]等比数列求和公式。极限为a,因此在[0,1]所有的有理数占据的长度小于a ,但a是任意的，所以[0,1]之间几乎都是无理数。所以出现了个奇妙的问题，假如能在有理数上安装一个红灯，无理数上安装个绿灯，接通电源，出现的现象是眼前是一条绿线几乎看不到红色。。。和平常认为的不同。。。偶然得知的。这就是有时候直观显得苍白，无限却充满矛盾啊。此矛盾岂直观能解决。愿对你有所帮助，加油，好好学习哈。

Answer 4

这是个说不清道不明的命题。
任意两个有理数之间都存在着无数个无理数，同时也存在着无数个有理数，不信你试试看，将一个具体的区间无限细分下去[小数点后不断地增加尾数，只要能写出来具体的数都是有理数]，比如0.3和0.4之间可以有0.33，0.333，0.3333，...，单就这一种形式的有理数就有无数个，它们都可以化成有理数的分数形式。当然了，你也可以构造一个无理数序列：0.33+√2/100、0.333+√2/1000、0.3333+√2/10000、...等等，这同样也是无数个。举例仅仅是举例，并不能说明那种多那种少，或者数量相等，因为例子是无穷尽的，无法进行理论判断。这正如鲁迅先生所说的：“神鬼之事吾也难明”。如果哪位大数学家能证明这种命题的话，我想，上帝一定会哭的，如果有上帝的话。

Answer 5

据我所知，这个问题不是说有理数多还是物理数多的问题，而是实数（有理数加无理数）能填满整个数轴，而有理数相对于整个数轴，稠密性约为零，而无理数几乎能填满整个数轴。从数量上看，它们都是无穷多个，从数轴的代数几何意义上来看，相对于无理数，有理数的数量可以忽略不计。也就是你所说的无理数多，这个结论你应该能明白了吧。另外，这个数轴不一定非要是10进制的，任意进制都可以。