Question

四边形ABCD中，AB=CD,E,F分别是BC、AD的中点，延长BA、CD分别与EF的延长线交于K、

四边形ABCD中，AB=CD,E,F分别是BC、AD的中点，延长BA、CD分别与EF的延长线交于K、H，求证：角BKE=角CHE.

Answer 1

如图，连接BD,取BD的中点G,连接EG、FG。则知EG、FG分别为△ADB和△CBD的中位线，故EG=1/2AB, FG=1/2CD,已知AB=CD，所以EG=FG,得∠GEF=∠GFE.

由中位线性质知:EG‖AB、 FG‖CD,得∠BKE=∠GEF、 ∠CHE=∠GFE。已证∠GEF=∠GFE， 所以∠BKE=∠CHE。

Answer 2

设BA与CD的延长线交于点G

连AC，取AC中点P，联PE,PF
所以由中位线得：PE平行且等于1/2DC PF平行且等于1/2AB
因为AB=CD 所以PE=PF
所以PFE为等腰三角形

由PF平行于DC得：角EFC=角ENC 再有对顶角相等：角ENC=角MNG
角FPA=角GCA
由PE平行于AB得：角APE=角MAE
又由外角：角MAC=角MBC+角ACB

所以可得：角FPA+角APE=角MAC+角GCA=角MGN

所以三角形MGN相似于三角形FPE

所以MGN中，MG=NG 即角BME=角CNE