一道数学题(概率高手请进=)
5个囚犯按顺序在装有100颗绿豆的麻袋里面抓绿豆,每人至少抓一个,抓的最多的和抓的最少的会被处死.他们能摸出剩下的绿豆数量但是彼此不能交流.问:(1)他们哪个人的存活几率...
5个囚犯按顺序在装有100颗绿豆的麻袋里面抓绿豆,每人至少抓一个,抓的最多的和抓的最少的会被处死.他们能摸出剩下的绿豆数量但是彼此不能交流.问:(1)他们哪个人的存活几率最大? (2)为什么?
(提示:每个囚犯都想让别人死,自己活;但是原则是先保命,再杀人.绿豆不一定全部拿完,若有重复,则也算最大/最小,一并处死)
请各位给出严谨的逻辑推理/证明,谢谢喽! 展开
(提示:每个囚犯都想让别人死,自己活;但是原则是先保命,再杀人.绿豆不一定全部拿完,若有重复,则也算最大/最小,一并处死)
请各位给出严谨的逻辑推理/证明,谢谢喽! 展开
3个回答
展开全部
这是我在别的地方找到的：分析这题目时，第一感觉是最后一名囚犯存活几率大，因为他可以算出前4个人抓走的绿豆，他只要取其平均数就最保险了！
但可能没这么简单，或者说这不是唯一答案。
分析如下：
所有人都想保全自己性命，而且抓取的绿豆数目大小取决于第一人的抓取数量，若第一人抓取数目为n时，第二人为保全自己肯定抓取n+1或
n-1或n，这样他才不至于让后面的人插到第二人和第一人之间，从而保全自己。这里不考虑第二人抓取的数目等于第一人抓取的数目，因为这
样的话，每个人都会抓n，那么都得死（只要n不大于100的5等份平均数）。另外题目给的信息我们知道平均数是这个题目的关键。
现在分析第一人：
他有以下几种不同情况：抓取数量n为整数，数目在1<n<20时（20是100的5份平均，在1和20之间情况可能一致，因此做一个节点分析）；数目
n等于20时；数目n大于20而小于96时（肯定要小于96了，因为要保证每个人都能拿到一颗！）。又考虑到第二人可能取n-1的情况，因而n＝2
时，也做一个节点分析。因此情况共分为：n＝2时；2<n<20时；n＝20时和96>n>20时。
下面逐个分析：
1、n＝2时
结论：100％死
分析：第一人取n＝2时，第二人肯定取3，而不会取1，因为1死定了。第三人得出平均数2.5时，考虑到没人取1时，他肯定也不会取2，因此肯
定取3，同理第四、第五人都会取3，因此第一人肯定死，所有人也都会死（这里考虑到他们不能交流，而都想保全自己性命的这个前提）。
另外，我们从这个假设中，分析得出没有人愿意取n＝2。
因此我们有必要分析一下n＝3时的情况：
2、n＝3时
结论：100％死
分析：因为大家都知道没有人会取n＝1，因此也不会有人取n＝2（因为在没人愿意取1的情况下n＝2最小），此时第二人肯定取n＝4，以此论
推，第一人还是死，所有人也都会死。
3、现在分析3<n<20时，
结论：100％死
分析：不管取3<n<20其中的任何数，第二人总是取n+1或n-1，第三人取与（2n+1）/2或（2n-1）/2相邻的一个整数，同理，第四第五人为了保
全自己也会取与平均数相邻的一个整数，而结果是所有人都是最大和最小的，因为没有中间值。
4、n＝20时，
结论：第一人有可能取n＝20，因为不死的概率是一半。但考虑到第二个人为避免死，肯定会取19，依然都是死。
分析：此时第二人取19或21，若第二人取19，第三人要么取19，要么取20，第四第五人也会取19或20结论依然都是死。
若第二人取21，第三人要么取21，要么取20，第四人也一样取21或20，但最后一个人无论如何，都会小于20，此时第一人不会死，第二人和最
后一人肯定死，第三人和第四人如果不是傻子也肯定取20而不会死。
5、96>n>20时
结论：第二一定能活、第三、第四人有可能活，而第一人和最后一人肯定死。
分析：若第一人取n在93>n>20时，第二第三第四人为避免自己数目最大，因此会取n-1，而不是n+1（当然在n大于50时，第二第三第四人只能
取小于n的数目啦），此时第一人是死，最后一人也是死，而第二人肯定能活，第三、第四人有可能能活（因为第二人有可能就剩下3颗绿豆，
不过这也太阴险了点。呵呵！）
这里面还有一个特例，就是第一人取95时，就第二人活，其它一定死，第一人取94时，第二人能活，第三人有可能活，其它一定死，当第一人
取93时，第二人能活，第三有可能活，第四人在第三人能活的前提下有可能活，其它人一定死。（这里面就是2和1的关系，具体大家自己分析
一下。我不累叙了！）
好了，分析完了，不知道大家看懂没有？
总的来说，这5个人里面要是有人能活，只存在两种情况，其它情况下都一定死。（很残酷！！！）
第一种情况：第一人取20，而第二人取21，此时能活的是取20的人，也就是说第一人一定活，第三、第四人取21死，取20就活。一定死的是第
二人和最后一人。
第二种情况：第一人取大于20且小于93的数目时，第一人和最后一人肯定死，第三第四第五人只要取小于第一人的数目就活。
这里面还有一个特例，就是第一人取95时，就第二人活，其它一定死，第一人取94时，第二人能活，第三人有可能活，其它一定死，当第一人
取93时，第二人能活，第三有可能活，第四人在第三人能活的前提下有可能活，其它人一定死。
针对题目的问题，我的结论是：
第一人若取20颗绿豆时有可能活，概率为一半（因为第二人要么取19，要么取21）。
第二人在第一人取大于20颗而小于94绿豆时一定能活，第三第四人有可能活，其中第三人的几率大于第四人。
若第一人取94时，第二人一定能活，第三有可能活，其它人一定死。
若第一人取95时，第二人一定能活，其它人一定死。
在其它任何情况下，大家一起死。（怎样？好恐怖吧）
说到概率的话，具体大小我说不上来，但活命概率的大小我认为是：第二>第三>第四>第一>第五。
解题思路：
5个囚犯的策略
由题设条件可知：摸到最大绿豆数的囚犯必死，摸到最小绿豆数的囚犯必死，摸到重复绿豆数的囚犯必死。
整体来看，至少有两个囚犯必死。绿豆数为5时，2个囚犯必死(11111)。绿豆数为4时，3-4个囚犯必死(1211，2111)。绿豆数为3时，4-5个囚犯必死(131，311，221，212)。绿豆数为2、1时，5个囚犯必死。
5个囚犯的策略应该是：5个囚犯必须使摸到的绿豆数不重复，这样才会有最多存活机会；又必须使自己摸到的绿豆数居中，才会有最大存活机会。
明确了这一点，就可以往下分析了。
具体分析求机率
设1号囚犯摸到的绿豆数为N。
则2号囚犯摸到的绿豆数为N+1或N-1。因为2号囚犯可以通过摸剩余绿豆的方法得知1号囚犯摸到的绿豆数,2号囚犯摸到的绿豆数为N的话就会重复是找死，如果摸到的绿豆数与N相差大于1的话，又会使得3号囚犯有机会使摸到的绿豆数居中。
3号囚犯也会使自己摸到的绿豆数与1、2号的紧密相邻，即使自己摸到的绿豆数比1、2号的之中最大的大1，最小的小1。因为3号囚犯可以通过摸剩余绿豆的方法得知1、2号囚犯摸到的绿豆总数，又知1、2号囚犯摸到的绿豆数相差为1，从而判断出1、2号囚犯各自摸到的绿豆数。
4、5号囚犯与3号囚犯想法基本相同。即使自己摸到的绿豆数比自己前面所有的之中最大的大1，最小的小1。
综上所述，5个囚犯摸到的绿豆数为5个连续整数。
1号囚犯存活机率。1号囚犯有两种情况必死：摸到的绿豆数最大或最小。摸到的绿豆数最大或最小，只能由后4位囚犯决定，由分析可知后4位囚犯的摸到绿豆数的位置都只有两个，即一组连续整数的两边。因此1号囚犯摸到的绿豆数为最大时的机率为（1/2）*（1/2）*（1/2）*（1/2）=1/16，最小时的机率也为1/16，1号囚犯存活机率为1-（1/16）*2=7/8
2号囚犯存活机率。由对称性可知2号囚犯存活机率与1号相同，也为7/8。
3号囚犯存活机率。3号囚犯摸到的绿豆数为最大时的机率为（1/2）*（1/2）*（1/2）=1/8，最小时的机率也为1/8，1号囚犯存活机率为1-（1/8）*2=3/4。
4号囚犯存活机率。4号囚犯摸到的绿豆数为最大时的机率为（1/2）*（1/2）=1/4，最小时的机率也为1/4，4号囚犯存活机率为1-（1/4）*2=1/2。
5号囚犯存活机率。5号囚犯摸到的绿豆数不是最大就是最小，必死无疑。5号囚犯存活机率为0。
[本题到此告一段落。但是5个囚犯的策略似乎有点问题：5号囚犯在必死无疑的情况下，还会为前4人保驾护航吗？他会不会临死拉个垫背的？于是有了以下分析。]
5号囚犯的“觉醒”（临死拉个垫背的，在必死无疑的情况下多杀人）
1-4号囚犯策略如前，则4个囚犯摸到的绿豆数为4个连续整数，而5号囚犯的“觉醒”促使他多杀人。要多杀人，他摸到的绿豆数必须为4个连续整数的中间两个，这样有4人必死，只有1人存活。5号囚犯必死，4号囚犯摸到的绿豆数为4个连续整数的最大或最小值，也必死，1-3号囚犯有可能存活。
先不考虑5号囚犯。
1号囚犯存活机率。1号囚犯摸到的绿豆数为4个连续整数的最大或最小值，则必死。1号囚犯摸到的绿豆数为最大时的机率为（1/2）*（1/2）*（1/2）=1/8，最小时的机率也为1/8，1号囚犯存活机率为1-（1/8）*2=3/4
2号囚犯存活机率。由对称性可知2号囚犯存活机率与1号相同，也为3/4。
3号囚犯存活机率。3号囚犯摸到的绿豆数为最大时的机率为（1/2）*（1/2）=1/4，最小时的机率也为1/4，3号囚犯存活机率为1-（1/4）*2=1/2。
考虑5号囚犯。
由于5号囚犯摸到的绿豆数必为4个连续整数的中间两个，故1-3号囚犯存活机率都将减半。即1、2号囚犯存活机率为（3/4）*（1/2）=3/8，3号囚犯存活机率（1/2）*（1/2）=1/4。
[5号囚犯的“觉醒”等于宣判了4号囚犯的死刑，4号囚犯考虑到这一点后，随之“觉醒”。]
4、5号囚犯共同“觉醒”
此情况很简单，大家同赴九泉。
综合考虑后，1、2号囚犯存活机率最大。
首先想不通啊,总是有聪明人当罪犯,呵呵
x>=20,有人会那么傻吗?
2一看有人大于20,得,上面有保护伞,下面也肯定有人颠底,因为不可能都>x,于是取x-1
3同理取x-2
4 x-3
5惨了100-4*x+6 铁定最小，问题来了，x>26，豆子就不够了
x<20
1 x
2 x-1 | x+1
3 x-2 | x+1 | x-1 | x+2
4 x-3 x+1 | x-2 x+2 | x-2 x+2 | x-1 x+3
5 对以上八种分别可能为min max
2看到剩豆100-x
3看到剩豆100-2y-1 他最好办,2选一,取可以保证不重复y,或y+2
4看到剩豆100-3z,这时他犯愁了,重复必死,没办法,z-2或z+2选一个吧，可能取到x-3到x+3 6种情况,除了x。
5甭看，死定了。或最大，或最小
结论
总情况数:16种
1可存活情况14种 =16-2
2 14 =16-2
3 12 =16-2*2
4 8 =16-2*2*2
5 0 =16-2*2*2*2
1和2机率最高
但可能没这么简单，或者说这不是唯一答案。
分析如下：
所有人都想保全自己性命，而且抓取的绿豆数目大小取决于第一人的抓取数量，若第一人抓取数目为n时，第二人为保全自己肯定抓取n+1或
n-1或n，这样他才不至于让后面的人插到第二人和第一人之间，从而保全自己。这里不考虑第二人抓取的数目等于第一人抓取的数目，因为这
样的话，每个人都会抓n，那么都得死（只要n不大于100的5等份平均数）。另外题目给的信息我们知道平均数是这个题目的关键。
现在分析第一人：
他有以下几种不同情况：抓取数量n为整数，数目在1<n<20时（20是100的5份平均，在1和20之间情况可能一致，因此做一个节点分析）；数目
n等于20时；数目n大于20而小于96时（肯定要小于96了，因为要保证每个人都能拿到一颗！）。又考虑到第二人可能取n-1的情况，因而n＝2
时，也做一个节点分析。因此情况共分为：n＝2时；2<n<20时；n＝20时和96>n>20时。
下面逐个分析：
1、n＝2时
结论：100％死
分析：第一人取n＝2时，第二人肯定取3，而不会取1，因为1死定了。第三人得出平均数2.5时，考虑到没人取1时，他肯定也不会取2，因此肯
定取3，同理第四、第五人都会取3，因此第一人肯定死，所有人也都会死（这里考虑到他们不能交流，而都想保全自己性命的这个前提）。
另外，我们从这个假设中，分析得出没有人愿意取n＝2。
因此我们有必要分析一下n＝3时的情况：
2、n＝3时
结论：100％死
分析：因为大家都知道没有人会取n＝1，因此也不会有人取n＝2（因为在没人愿意取1的情况下n＝2最小），此时第二人肯定取n＝4，以此论
推，第一人还是死，所有人也都会死。
3、现在分析3<n<20时，
结论：100％死
分析：不管取3<n<20其中的任何数，第二人总是取n+1或n-1，第三人取与（2n+1）/2或（2n-1）/2相邻的一个整数，同理，第四第五人为了保
全自己也会取与平均数相邻的一个整数，而结果是所有人都是最大和最小的，因为没有中间值。
4、n＝20时，
结论：第一人有可能取n＝20，因为不死的概率是一半。但考虑到第二个人为避免死，肯定会取19，依然都是死。
分析：此时第二人取19或21，若第二人取19，第三人要么取19，要么取20，第四第五人也会取19或20结论依然都是死。
若第二人取21，第三人要么取21，要么取20，第四人也一样取21或20，但最后一个人无论如何，都会小于20，此时第一人不会死，第二人和最
后一人肯定死，第三人和第四人如果不是傻子也肯定取20而不会死。
5、96>n>20时
结论：第二一定能活、第三、第四人有可能活，而第一人和最后一人肯定死。
分析：若第一人取n在93>n>20时，第二第三第四人为避免自己数目最大，因此会取n-1，而不是n+1（当然在n大于50时，第二第三第四人只能
取小于n的数目啦），此时第一人是死，最后一人也是死，而第二人肯定能活，第三、第四人有可能能活（因为第二人有可能就剩下3颗绿豆，
不过这也太阴险了点。呵呵！）
这里面还有一个特例，就是第一人取95时，就第二人活，其它一定死，第一人取94时，第二人能活，第三人有可能活，其它一定死，当第一人
取93时，第二人能活，第三有可能活，第四人在第三人能活的前提下有可能活，其它人一定死。（这里面就是2和1的关系，具体大家自己分析
一下。我不累叙了！）
好了，分析完了，不知道大家看懂没有？
总的来说，这5个人里面要是有人能活，只存在两种情况，其它情况下都一定死。（很残酷！！！）
第一种情况：第一人取20，而第二人取21，此时能活的是取20的人，也就是说第一人一定活，第三、第四人取21死，取20就活。一定死的是第
二人和最后一人。
第二种情况：第一人取大于20且小于93的数目时，第一人和最后一人肯定死，第三第四第五人只要取小于第一人的数目就活。
这里面还有一个特例，就是第一人取95时，就第二人活，其它一定死，第一人取94时，第二人能活，第三人有可能活，其它一定死，当第一人
取93时，第二人能活，第三有可能活，第四人在第三人能活的前提下有可能活，其它人一定死。
针对题目的问题，我的结论是：
第一人若取20颗绿豆时有可能活，概率为一半（因为第二人要么取19，要么取21）。
第二人在第一人取大于20颗而小于94绿豆时一定能活，第三第四人有可能活，其中第三人的几率大于第四人。
若第一人取94时，第二人一定能活，第三有可能活，其它人一定死。
若第一人取95时，第二人一定能活，其它人一定死。
在其它任何情况下，大家一起死。（怎样？好恐怖吧）
说到概率的话，具体大小我说不上来，但活命概率的大小我认为是：第二>第三>第四>第一>第五。
解题思路：
5个囚犯的策略
由题设条件可知：摸到最大绿豆数的囚犯必死，摸到最小绿豆数的囚犯必死，摸到重复绿豆数的囚犯必死。
整体来看，至少有两个囚犯必死。绿豆数为5时，2个囚犯必死(11111)。绿豆数为4时，3-4个囚犯必死(1211，2111)。绿豆数为3时，4-5个囚犯必死(131，311，221，212)。绿豆数为2、1时，5个囚犯必死。
5个囚犯的策略应该是：5个囚犯必须使摸到的绿豆数不重复，这样才会有最多存活机会；又必须使自己摸到的绿豆数居中，才会有最大存活机会。
明确了这一点，就可以往下分析了。
具体分析求机率
设1号囚犯摸到的绿豆数为N。
则2号囚犯摸到的绿豆数为N+1或N-1。因为2号囚犯可以通过摸剩余绿豆的方法得知1号囚犯摸到的绿豆数,2号囚犯摸到的绿豆数为N的话就会重复是找死，如果摸到的绿豆数与N相差大于1的话，又会使得3号囚犯有机会使摸到的绿豆数居中。
3号囚犯也会使自己摸到的绿豆数与1、2号的紧密相邻，即使自己摸到的绿豆数比1、2号的之中最大的大1，最小的小1。因为3号囚犯可以通过摸剩余绿豆的方法得知1、2号囚犯摸到的绿豆总数，又知1、2号囚犯摸到的绿豆数相差为1，从而判断出1、2号囚犯各自摸到的绿豆数。
4、5号囚犯与3号囚犯想法基本相同。即使自己摸到的绿豆数比自己前面所有的之中最大的大1，最小的小1。
综上所述，5个囚犯摸到的绿豆数为5个连续整数。
1号囚犯存活机率。1号囚犯有两种情况必死：摸到的绿豆数最大或最小。摸到的绿豆数最大或最小，只能由后4位囚犯决定，由分析可知后4位囚犯的摸到绿豆数的位置都只有两个，即一组连续整数的两边。因此1号囚犯摸到的绿豆数为最大时的机率为（1/2）*（1/2）*（1/2）*（1/2）=1/16，最小时的机率也为1/16，1号囚犯存活机率为1-（1/16）*2=7/8
2号囚犯存活机率。由对称性可知2号囚犯存活机率与1号相同，也为7/8。
3号囚犯存活机率。3号囚犯摸到的绿豆数为最大时的机率为（1/2）*（1/2）*（1/2）=1/8，最小时的机率也为1/8，1号囚犯存活机率为1-（1/8）*2=3/4。
4号囚犯存活机率。4号囚犯摸到的绿豆数为最大时的机率为（1/2）*（1/2）=1/4，最小时的机率也为1/4，4号囚犯存活机率为1-（1/4）*2=1/2。
5号囚犯存活机率。5号囚犯摸到的绿豆数不是最大就是最小，必死无疑。5号囚犯存活机率为0。
[本题到此告一段落。但是5个囚犯的策略似乎有点问题：5号囚犯在必死无疑的情况下，还会为前4人保驾护航吗？他会不会临死拉个垫背的？于是有了以下分析。]
5号囚犯的“觉醒”（临死拉个垫背的，在必死无疑的情况下多杀人）
1-4号囚犯策略如前，则4个囚犯摸到的绿豆数为4个连续整数，而5号囚犯的“觉醒”促使他多杀人。要多杀人，他摸到的绿豆数必须为4个连续整数的中间两个，这样有4人必死，只有1人存活。5号囚犯必死，4号囚犯摸到的绿豆数为4个连续整数的最大或最小值，也必死，1-3号囚犯有可能存活。
先不考虑5号囚犯。
1号囚犯存活机率。1号囚犯摸到的绿豆数为4个连续整数的最大或最小值，则必死。1号囚犯摸到的绿豆数为最大时的机率为（1/2）*（1/2）*（1/2）=1/8，最小时的机率也为1/8，1号囚犯存活机率为1-（1/8）*2=3/4
2号囚犯存活机率。由对称性可知2号囚犯存活机率与1号相同，也为3/4。
3号囚犯存活机率。3号囚犯摸到的绿豆数为最大时的机率为（1/2）*（1/2）=1/4，最小时的机率也为1/4，3号囚犯存活机率为1-（1/4）*2=1/2。
考虑5号囚犯。
由于5号囚犯摸到的绿豆数必为4个连续整数的中间两个，故1-3号囚犯存活机率都将减半。即1、2号囚犯存活机率为（3/4）*（1/2）=3/8，3号囚犯存活机率（1/2）*（1/2）=1/4。
[5号囚犯的“觉醒”等于宣判了4号囚犯的死刑，4号囚犯考虑到这一点后，随之“觉醒”。]
4、5号囚犯共同“觉醒”
此情况很简单，大家同赴九泉。
综合考虑后，1、2号囚犯存活机率最大。
首先想不通啊,总是有聪明人当罪犯,呵呵
x>=20,有人会那么傻吗?
2一看有人大于20,得,上面有保护伞,下面也肯定有人颠底,因为不可能都>x,于是取x-1
3同理取x-2
4 x-3
5惨了100-4*x+6 铁定最小，问题来了，x>26，豆子就不够了
x<20
1 x
2 x-1 | x+1
3 x-2 | x+1 | x-1 | x+2
4 x-3 x+1 | x-2 x+2 | x-2 x+2 | x-1 x+3
5 对以上八种分别可能为min max
2看到剩豆100-x
3看到剩豆100-2y-1 他最好办,2选一,取可以保证不重复y,或y+2
4看到剩豆100-3z,这时他犯愁了,重复必死,没办法,z-2或z+2选一个吧，可能取到x-3到x+3 6种情况,除了x。
5甭看，死定了。或最大，或最小
结论
总情况数:16种
1可存活情况14种 =16-2
2 14 =16-2
3 12 =16-2*2
4 8 =16-2*2*2
5 0 =16-2*2*2*2
1和2机率最高
本回答由提问者推荐
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
