Question

已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0

已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2）,a1=1／2,（1）求证：｛1／Sn｝是等差数列。（2）求an的表达式

Answer 1

an+2Sn*S(n-1)=0
Sn-S(n-1)+2Sn*S(n-1)=0
S(n-1)-Sn=2Sn*S(n-1)
两边除以Sn*S(n-1)
S(n-1)/Sn*S(n-1)-Sn/Sn*S(n-1)=2
1/Sn-1/S(n-1)=2
即相减是个常数
所以1/Sn是等差数列

公差d=2
S1=a1=1/2
所以1/Sn=1/S1+d(n-1)=2n
Sn=1/(2n)
所以an=Sn-S(n-1)=1/(2n)-1/2(n-1)
即an=-1/(n²-n)

Answer 2

1/Sn-1/Sn_1=(Sn_1-Sn)/Sn*Sn_1
Sn_1-Sn=-an
由an+2Sn*Sn_1=0得 Sn*Sn-1=-an/2

则原式=-an/(-an/2)=2 所以1/Sn是等差数列

证明是等差数列an就好求了，用等差数列公式就行了，我上大学了不记得那些公式了，希望能帮上你的忙

Answer 3

你把an用Sn-Sn-1代替就可以

Sn-Sn-1+2Sn·Sn－1=0

两边同时除以2Sn·Sn－1，就得到你要的分母了

既然第一问求解了，就用an=Sn-Sn-1，表示即可

只是数列，高考的第二问常用方式，本来目标是第二问
但是直接解答很困难，所以题目常常会先设一个桥梁

让大部分的人会求解

知道思路

Answer 4

an+2Sn*S(n-1)=0
Sn-S(n-1)+2Sn*S(n-1)=0
S(n-1)-Sn=2Sn*S(n-1)
两边除以Sn*S(n-1)
S(n-1)/Sn*S(n-1)-Sn/Sn*S(n-1)=2
1/Sn-1/S(n-1)=2
即相减是个常数
所以1/Sn是等差数列

公差d=2
S1=a1=1/2
所以1/Sn=1/S1+d(n-1)=2n
Sn=1/(2n)
所以an=Sn-S(n-1)=1/(2n)-1/2(n-1)
即an=-1/2(n²-n)

Answer 5

an+2Sn·Sn－1=0推出Sn-Sn－1+2Sn·Sn－1=0
推出1／Sn-1 - 1／Sn +2 = 0
推出1／Sn - 1／Sn-1 =2所以是公差为2的等差数列。
1／Sn=1／S1 +（n-1）×2=2n所以sn=1/2n
an=sn -sn-1=1/2n - 1/2(n-1)