Question

高二数学问题 立体几何

三个平面两两相交，有三条交线，若其中两条相交于一点，证明第三条交线也过这一点

Answer 1

想象成一个正方体或是长方体，设上面为面M，正面是面N，右面是面P
已知：面M、面N、面P两两相交，且面M∩面N=a，面M∩面P=b，面P∩面N=c，若a∩b=A
求证：c过点A
证明：∵面M∩面N=a，∴a在面M内
又a∩b=A，∴A∈a
∴A∈面M，
同理（∵面M∩面P=b，∴B在面P内
又a∩b=A，∴A∈b）
A∈面P
∴面P∩面N=c，A∈c
即c也过点A

Answer 2

已知:平面α∩平面β=a,平面β∩平面γ=b,平面γ∩平面α=c.
求证:a,b,c相交于同一点.
证明:∵α∩β=a,β∩γ=b
∴a,bβ
∴a,b相交或a‖b.

a,b相交时,不妨设a∩b=P,即P∈a,P∈b
而a,bβ,aα
∴P∈β,P∈α,故P为α和β的公共点
又∵α∩γ=c
由公理2知P∈c
∴a,b,c都经过点P,即a,b,c三线共点.