Question

一道很难的高中不等式题

已知x1*x2*x3*...*xn=1,且x1,x2,x3...xn都是正数，
求证(1+x1)(1+x2)...(1+xn)>=2^n

Answer 1

证明：当n=1时，x1=1
（1+1）=2=2……1
假设当n=k时等式成立
即(1+x1)(1+x2)...(1+xk)>=2^k
当n=k+1时
x1x2x3……xk=1 x1x2x3……xkx(k+1)=1
那么x(k+1)=1
(1+x1)(1+x2)...(1+xk)(1+x(k+1)>=2^k*(1+1)
>=2(k+1)
故假设成立
故(1+x1)(1+x2)...(1+xn)>=2^n
证毕
如果要求的话我还真不会

Answer 2

柯西不等式一步出来
(x1＋y1＋…)(x2＋y2＋…)…(xn＋yn…)≥[(∏x)^(1/n)＋(∏y)^(1/n)＋…]^n

Answer 3

本题貌似是数学联赛里面的一个题目
证法如下：
由于x1，x2,x3,....xn 均为正数
故 1+x1 >= 2* x1^0.5
1+x2 >= 2* x2^0.5
1+x2 >= 2* x2^0.5
.....
1+xn >= 2* xn^0.5
累×上述n个不等式 ,并且注意到x1*x2*x3*...*xn=1
得到
(1+x1)(1+x2)...(1+xn)>= 2^n * （x1*x2*x3*...xn)^0.5
=2^n
命题得证