Question

F（x）的n阶导数不等于0，那麽F(x）=0最多有n个根

看参考书时看到的，不知道怎么证明，帮帮忙啦，谢谢！！！
不等于0的意思是恒不等于0。 我是大一的，刚入学， 麻烦说的不要太深 。

Answer 1

如果你学过Rolle定理，那么很好办，利用反证法，如果F(x)至少有n+1个不同的实根，那么对相邻的两个实根用一次Rolle定理就得到F'(x)有n个不同的实根，如此一直得到F^{n}(x)有一个根，矛盾。

如果没学过Rolle定理，那么就需要知道导数有介值性质(Darboux定理)，即F^{n}(x)恒不为零则必须保持同号，那么F^{n-1}(x)单调，至多一个实根，然后F^{n-2}至多有两个单调区间，至多2个实根……F(x)至多有n个单调区间，每段上至多一个实根。

Answer 2

这个说法好像是不对的。
把F(x)的n阶导数积分n次得到F(x).
如果F(x)的n阶导数是常数,那么积分过后就是一个n次函数，所以会有n个根。
如果F(x)的n阶导数是m次函数，F(x)就会有n+m个根。
如果F(x)的n阶导数是三角函数，那么F(x)也是三角函数，无穷多个根。
如果F(x)的n阶导数是指数函数，那么F(x)没有根……

Answer 3

因为在x=0时,f(x)=1的意义是当x趋近于0时，f(x)=1
这个是取极限的意义