Question

大一高数用导数定义求极限，定重谢

已知函数f'（x0）存在,则△x->0时[f(x0-△x)-f(x0)]/△x的极限，以及当h→0时f（x0＋h）－f（x0－h）／h的极限
要过程，定追加分数

Answer 1

令 h = - △x,
当 △x→0 时， 有 h→0

∴lim [f(x。- △x) - f(x。)]/△x
△x→0
=lim [f(x。+ h) - f(x。)]/(-h)
h→0
=- lim [f(x。+ h) - f(x。)]/h
h→0
= - f'(x。)

lim [f(x。+ h) - f(x。- h)]／h
h→0
=lim [f(x。+ h) - f(x。) + f(x。) - f(x。- h)]／h
h→0
=lim [f(x。+ h) - f(x。)]/h + lim [f(x。) - f(x。-h)]／h
h→0 h→0
=f'(x。)+ lim[f(x。) - f(x。+ △x)]/(-△x)
△x→0
[令△x=-h]
=f'(x。)+ lim[f(x。+ △x) - f(x。)]/(△x)
△x→0
=2f'(x。)

Answer 2

认真复习一下导数的定义

函数f(x)在x0处的导数为 [f(x0)-f(x0-△x)]/△x △x->0

1.那么，[f(x0-△x)-f(x0)]/△x的极限当然就是 -f'（x0）
本题也可以通过坐标图看出来

2.f（x0＋h）－f（x0－h）／h
本题需要做一个简单的变换

f（x0＋h）－f（x0－h）／h={[f（x0＋h）-f(x0)]+[f(x0)－f（x0－h）]}/h

=[f（x0＋h）-f(x0)]/h +[f(x0)－f（x0－h）]/h

两项各满足导数定义，所以

当h→0时f（x0＋h）－f（x0－h）／h的极限为2f'（x0）