Question

救救孩子 高数 利用导数的定义求极限的问题

主要是b，c选项：①它根据什么给f(x）取值？b选项它凭什么让x＝0是跳跃间断点?②h→0时，不是“0/0”形式的未定式吗，怎么得出结果是0的③c选项为什么说x＝0时不可导呢

Answer 1

B选项中，已经给出了具体的函数，讨论选项中的极限式的时候，可以使用函数值代入。h趋向于0，并不意味着h是零，只是一个非常小的变量，无论是从0的左侧或是右侧趋于0，f（x）都有明确的值。这样的特例，既满足选项的条件，也便于计算。同时，B选项所列举的分段函数在0处并不连续，也就无从谈起可导，C选项中的函数在0处的左右导数不相等，故而不可导。（个人愚见，希望能对你有所帮助）

追问

可以把BC选项中的设定代入D中验证D的正确性吗

按照解析中BC的步骤验证D选项 设“f(x)＝B中的分段函数/C中的ΙxΙ”，然后D中的式子＝×××××，最后证明D是对的

追答

额，说明D项正确还是需要严格的证明。说明一个命题的错误，一个反例就够。

D选项就是导数的定义嘛，

Answer 2

对于选项 B， 举反例。取分段函数
f(x) = 1, x ≠ 0
f(x) = 0, x = 0
函数在 x = 0 处 不连续， 自然不可导。
但满足 lim<h→0>[f(0+2h)-f(0+h)]/h = lim<h→0>(1-1)/h = 0
故 lim<h→0>[f(0+2h)-f(0+h)]/h 存在不是 f(x) 可导的充分条件。
对于选项 C， 举反例。取 f(x) = |x|
函数在 x = 0 处 连续， 不可导。
但满足 lim<h→0>[f(0+h)-f(0-h)]/(2h) = lim<h→0>( |h|-|-h|)/h = 0
故 lim<h→0>[f(0+h)-f(0-h)]/(2h) 存在不是 f(x) 可导的充分条件。
故排除 B, C

追问

我就是想知道它凭什么随便给f(x)取值啊 按它这个取法，直接给安排一个跳跃间断点哪个函数扛得住。。例如d选项，要是像b那么安排不就也错了么

追答

若是正确选项，你是找不出满足题设条件的这种反例的。
你若能举个反例能否定选项 D， 这真是题目和解答都错了。

追问

你能讲一下d选项取跟b一样的设定的后续吗

就是按照b的解析给d套一下

追答

对于选项 D， 若取分段函数
f(x) = 1, x ≠ 0
f(x) = 0, x = 0
则 lim[f(0)-f(0-h)]/h = lim(0-1)/h 不存在，
不满足 上述极限存在的条件， 故该分段函数不是反例。
该例虽不能证明选 D 一定正确， 但否决了这个分段函数“反例”。
题目解答中排除了选项 A, B, C， 故选 D.

追问

懂了，谢谢你

有一个新的提问，能帮忙看看嘛

在我的提问里面

追答

分段函数
f(x) = 1, x ≠ 0
f(x) = 0, x = 0
在 x = 0 处 不连续， 自然不可导。

函数 f(x) = |x|

在 x = 0 处 连续， 用定义法求得左导数是 -1， 右导数是 1， 故不可导。

追问

不是这个意思呀😂 我私信你了，你点开我的资料里有我新提问的一个高数题，255财富值的那个，关于用定积分求水压力的。您如果方便的话帮我看看万分感谢

追答

你的解答积分限定错了。 h = 0.09-y 已经算进去了 水下 3 cm，
再从 0 到 0.09 积分就重复计算了。积分限应为 0 到 0.06.

Answer 3

看不清楚下标，对于（B）在解析，感觉与题意不符
[f（a+2h）-f（a+h）]/h
=[f（a+2h）-f(a)+f(a)-f（a+h）]/h
=[f（a+2h）-f(a)]/h-[f（a+h）-f(a)]/h
=2[f（a+2h）-f(a)]/2h-[f（a+h）-f(a)]/h
--->2f'(a)-f'(a)=f'(a)
要注意，h或1/h要从0的两侧趋近于0才行。如果只有一侧趋近于0，不够的。

追问

你这个的步骤我看懂了，意思是b选项是对的?答案b不对呀

追答

下标看不清，是h→0？
A好像是h→+∞，没有负侧的。
C可以与B一样分析：
[f(a+h)-f(a-h)]/2h
=[f(a+h)-f(a)+f(a)-f(a-h)]/2h
=[f(a+h)-f(a)]/2h-[f(a-h)-f(a)]/2h
=(1/2)[f(a+h)-f(a)]/h+(1/2)[f(a-h)-f(a)]/(-h)
---》（1/2）f'(a)+(1/2)f'(a)=f'(a)
D:[f(a)-f(a-h)]/h
=[f(a-h)-f(a)]/(-h)
--->f'(a)
都是可以的。

追问

a是趋近于正无穷，其他都是趋近于0

但是答案只有D选项是对的呀

追答

我的解析基于函数在a连续。如果不连续，f（a），-f（a）互相抵消，只能证明f（a十2h）-f（a十h），或者f（a十h）-f（a-h）的极限为0,不能证明f（a十2h）-f（a），f（a十h）-f（a），f（a-h）-f（a）的极限也是0,因此只有D正确。D只是把导数的定义中h换成-h，而无穷小本身就要求从正负两个方向趋近于0,