Question

已知抛物线y^=4x过点P（4，0）的直线与抛物线相交于A(X1,Y1)B(X2,Y2)则Y1^+Y2^的最小值为

Answer 1

设直线方程为：y=k(x-4)
代入y^2=4x得：
y^2=4(y+4k)/k
y^2-4y/k-16=0
y1+y2=2/k,y1y2=-16

y1^2+y2^2=(y1+y2)^2-2y1y2
=4/k^2+32
显然k越大,y1^2+y2^2越小
当AB⊥x轴，时，k不存在
这时，y1^2+y2^2最小=32

Answer 2

设过（4，0）的直线为 y=k(x-4),
联立y^2=4x
得(k^2)x^2-(8k^2+4)x+4k^2=0
于是y1^2+y2^2=4x1+4x2=4(x1+x2)=4(8k^2+4)/k^2=4(8+4/k^2)
=32+8/k^2.
显然，当K→∞,8/k^2→0,即当AB所在的直线⊥OX轴时Y1^2+Y2^2最小值是32