Question

已知圆O是三角形ABC的外接圆 CD是AB边上的高，AE是圆O的直径。AB=10,AC=8,CD=6.求AE的

求AE的长

Answer 1

作AF⊥BC，交BC于F，

根据勾股定理，AD=√（AC^2-AD^2)=2√7,

BD=AB-AD=10-2√7,

根据勾股定理,

BC=√(BD^2+CD^2)=2√(41-10√7),

S△ABC=CD*AB/2=AF*BC/2，

AF=CD*AB/BC=30/√(41-10√7),

在△AFC和△ABE中，

〈ABE=90度，（半圆上圆周角是直角），

〈AFC=90度，

〈ACF=〈AEB（同弧圆周角相等），

△AFC∽△ABE，

AC/AE=AF/AB，

8/AE=[30/√(41-10√7)]/10，

AE=8√(41-10√7)/3。

Answer 2

证明：
以E为圆心，以BC长为半径画弧交元O于F点。连接EF,FA.则：EF=BC,∠FAE=90°
所以：∠EAF=∠DAC （弦相等，弦所对的圆周角相等）
所以：RT△ADC∽RT△EFA
所以：AC/AE=CD/EF 即AC*EF=AE*CD
而：EF=BC
所以：AC*BC=AE*CD
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