Question

线代的一道证明题

证明：r维向量组的每个向量添上n-r个分量，成分n维向量组，若r维向量组线性无关，则n维向量组也线性无关。

Answer 1

当n=r的时候 显然成立

当n>r的时候

设原r维向量组系数矩阵为M

设n维系数向量组系数矩阵为N

显然M N具有相同的列数 不同的行数

有题目知r维向量组线性无关

则M的秩r(M)=r 也就是说M是列满秩矩阵

又因为 r=r(M)=<r(N)<=Min{行数，列数}=列数=r

所以 r(N)=r 也就是说N也是列满秩矩阵 所以n维向量组线性无关。

Answer 2

充分性:由r(A)<n推存在一个非零的n*m矩阵B，使得AB=O
假设不存在矩阵B，也就是说对于任意非零nx1向量X有AX不等于0，设A的列向量为a1，……an，则有(a1,a2,...,an)X=0只有0解，也就是说a1，……an线性无关，也就是说r(A)=n矛盾。
必要性:存在一个非零的n*m矩阵B，使得AB=O也就是说r(B)>0,由AB=0推出r(A)+r(B)<n进而推出r(A)<n,这个结论也是用线性方程组那里的知识证明就行，关于解的维数的结论。