Question

线性代数定理求证明…

线性代数中：“任一实对称矩阵A一定存在正交矩阵Q，使得:Q^(-1)AQ=Q^(T)AQ=对角矩阵…”
请问如何用数学归纳法证明？求高手…

Answer 1

问题的关键在与证明存在一组由A的特征向量组成的规范正交基.为此需要引如欧几里德空间中对称变换.主要有以下几个结果:1.一个变换是对称变换当且仅当其在一组规范正交基下的矩阵为对称矩阵2.实对称矩阵的特征值都为实数3.实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交.对欧几里德空间的维数归纳.在n+1维时,取对称变换的一个单位特征向量,则将对称变换限制在这个特征向量的正交补空间(n维)上,由归纳假设,存在一组由A的特征向量组成的规范正交基,再并上那个特征向量,即为所求.

Answer 2

我给你一个直观一点的证明，不过你还是有必要好好体会一楼说的。

任取A的一个特征对Ax=cx，假定x^H*x=1，以U是以x为第一列酉阵，那么U^H*A*H=diag{c,A2}是块对角阵，注意这个矩阵是Hermite阵，故c是实数。然后x也可以取成实向量。
重新来一遍，取V是以x为第一列的正交阵，那么V^T*A*V=diag{c,B2}，然后对n-1阶实对称矩阵归纳就行了。