Question

设随机变量X服从参数为1/2的指数分布,证明:Y=1-e^-2x服从[0,1]上的均匀分布。

我想要详细的证明过程，谢谢啦~~

Answer 1

利用分布函数法，假设Y的分布函数为F(y)，则根据分布函数的定义可知
F(y)=P(Y<=y)=P(1-eˆ(-2X)<=y),由于x服从参数为1/2的指数分布,因此X可能的取值范围应该是0到正无穷。因此1-eˆ(-2X)可能的取值范围应该是[0,1]。可知当y<0时，P(1-eˆ(-2X)<=y)=0，当y>=1时，P(1-eˆ(-2X)<=y)=1。当0<=y<1时，P(1-eˆ(-2X)<=y)=P(X<=1/2ln(1-y))=y。
可知Y的分布函数即为区间（0,1）上的均匀分布的分布函数，也即Y服从均匀分布。

Answer 2

简单计算一下即可，详情如图所示

备注