Question

关于用极坐标积分求椭圆面积的一个难以理解的奇怪问题，是数学高手就进

本来应该是个很简单的积分，就是求一个椭圆的面积，椭圆方程下面给出了。这个应该有很多方法可以求出，且与公式S=πab一致。但是有一个解法让我百思不得其解，而且答案是错误的。具体就是如下那个累次积分，看起来似乎是对的，r的范围也貌似是合理的，上限的半径是根据椭圆的参数方程而来。但是怎么去解释这个积分的错误之处？究竟错在哪里，有高手能揭秘吗？一定说的让人信服，必要时可以像我那样插入图片（有点囧。。。），还有最好能给出在这个基础上的正确解法，不要拿其他方法，这个我知道不少。我就想看看这个二重极坐标的解法，还有错在何处？？不废话了，高手速解，O(∩_∩)O谢谢~~~

Answer 1

你将x=r·cosθ和y=r·sinθ代入
(x/a)^2+(y/b)^2
=
1
应该就可以求出r和θ间的关系，表示为r=r(θ)
根据对称性，只求第一象限的就可以，然后4倍。具体过程较麻烦，懒得写了，自己练练手吧！

Answer 2

因为你的theta在x^2+y^2/4=1中的运动不是均匀的，也就是说x=cos theta的话，那个theta不能直接用来积分

建议你用一个焦点作为中心来写这个积分
R=e*p/(1-e*cos(theta))

Answer 3

其实就是把一个圆形压扁了，所以：
πRR→πaa→πa*a(b/a)→πab
也就是说，可以看成是一个半径为半长轴a的圆的“高度”被压缩为半短轴b了，所以高度压缩比例为b/a，那么面积也压缩为原来圆面积的b/a了。

Answer 4

因为参数方程里的那个"θ"并不是极坐标里的"θ"
极坐标里的θ，指的是该点与极点连线与极轴夹角；
参数方程里的θ并不是这个含义，所以在积分的时候并不能套用参数方程的公式

Answer 5

你的x=cost*r中的r遗漏了 导致r一直是1 即x、y其实只是一段弧线而不是面积 这和你对r积分是矛盾的