Question

圆的方程的问题

已知圆C的圆心在直线L1：x-y-1=0上，与直线L2：4x+3y+14=0相切，且截直线L3：3x+4y+10=0所得的弦长为6，求圆C的方程
要有过程…谢谢

Answer 1

圆心C(a,b)
在L1上
所以a-b-1=0
b=a-1
C(a,a-1)
圆心到切线距离等于半径
所以r=|4a+3a-3+14|/√(4²+3²)=|7a+11|/5

圆心到L3的距离=|3a+4a-4+10|/√(4²+3²)=|7a+6|/5
弦心距|7a+6|/5，弦长=6
所以半径r=√[(|7a+6|/5)²+3²]
所以√[(|7a+6|/5)²+3²]=|7a+11|/5
两边平方
(49a²+84a+36)/25+9=(49a²+154a+121)/25
70a=140
a=2
C(2,1)
r=|7a+11|/5=5
所以(x-2)²+(y-1)²=25

Answer 2

首先,圆心在直线l1:x-y-1=0上,则不妨设圆心坐标为(a,a-1)
因为圆与直线l2:4x+3y+14=0相切,则由点到线的距离公式得出
半径R=D=[4a+3(a-1)+14]/5=(7a+11)/5

圆在直线l3:3x+4y+10=0上截得弦长为6,则由点到线的距离公式得出
圆心到l3的距离d=[3a+4(a-1)+10]/5=(7a+6)/5

由此,你画一个图观察,过圆心做l3的垂线,弦长被一分为二,可以得出
弦长L一半的平方+d的平方=R的平方.

所以可以得出关系式:(6/2)^2+[7a+6/5]^2=[7a+11/5]^2
解上式,得a=2
所以圆心坐标为(2,1),半径R=5
圆的方程为(x-2)^2+(y-1)^2=25

Answer 3