Question

设函数f(x)=x+9/x(1)判断f(x)在区间(0,3]上的单调性

设函数f(x)=x+9/x(1)判断f（x)在区间（0，3]上的单调性，并证明你的结论；
（2）当x∈[1,3]时，求f(x)值域

Answer 1

函数f(x)=x+9/x
(1)判断f（x)在区间（0，3]上的单调性，并证明你的结论；
（2）当x∈[1,3]时，求f(x)值域

解：
1. 设0<x1<x2<=3
则 x1-x2<0 , 0<x1*x2<=9
f（x1）-f（x2）=x1-x2 + 9/x1 - 9/x2
=x1-x2+9(x2-x1)/x1x2
=（x1-x2）[1-9/x1x2]
当0<x1<x2<=3时
x1-x2<0, 1-9/x1x2>0
所以
f（x1）-f（x2）<0
即f（x1）>f（x2）
得证 f（x）在（0，3]为单调递减区间

2.由上可得f（x）在[1，3]单调递减
则当x=1时得最大值 10 ；
当x=3时得最小值 6
即f（x）在 [1，3]上的值域为[6，10]

Answer 2

(1)[6,+∞).(2)[6,10].