Question

椭圆面积用极坐标积分求法

我知道椭圆面积等于长轴乘短轴乘π
但忘记椭圆用定积分求面积的公式是如何推导的了

设椭圆： (x/a)^2+(y/b)^2 = 1

（关于“^”符号：m^2表示m的2次方）

面积求积分大约应该是这样
r是可变半径
x=r·cosθ
y=r·sinθ
S = ∫dθ∫rdr
前面那个积分限是0到2π，后面那个是0到多少？

就后面那个不太清楚
我记得是个根号下什么东西的平方加什么东西的平方
我的高数书不在手边（貌似上面也没有极坐标积分求椭圆面积的讲解）
有些地方也不太清楚
求各位帮忙给出后面那个积分上限
最好能讲解一下 谢谢~

Answer 1

因为两轴焦点在0点，所以椭圆的面积可以分为4个相等的部分，分别是+x+y、-x+y、-x-y、+x-y四个区域，所以只要求出一个象限间所夹的面积，然后再乘以4就可以得到整个椭圆的面积。拣最简单的来吧，先求第一象限所夹部分的面积。
根据定积分的定义及图形的性质，我们可以把这部分图形无限分为底边在x轴上的小矩形，整个图形的面积就等于这些小矩形面积和的极限。现在应用元素法，在图
形中任找取一点，然后再取距这点距离无限近的另一个点，这两点间的距离记做dx，然后取以dx为底边，两点分别对应的y为高，与曲线相交够成的封闭的小矩
形的面积s，显然，s=y*dx
现在求s的定积分，即大图形的面积s，s=∫[0:a]ydx
意思是求0
到
a上y关于x的定积分
步骤：（第一象限全取正，后面不做说明）
s=∫[0:a]ydx=∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx
设
x^2/a^2=sin^2t
则
∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx=∫[0:pi/2]b*cost
d(a*sint)
pi=圆周率
∫[0:pi/2]b*cost
d(a*sint)=∫[0:pi/2]b*a*cos^2t
dt
cos^2t=1-sin^2t
∫[0:pi/2]b*a*cos^2t
dt
=[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t
dt
这里需要用到一个公式：∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[0:pi/2]f(cosx)dx
证明如下
sinx=cos(pi/2-x)
设u=pi/2-x
则
∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[pi/2:0]f(cosu)d(pi/2-u)=
-∫[0:pi/2]f(sinu)d(pi/2-u)=∫[0:pi/2]f(sinu)du=∫[0:pi/2]f(sinx)dx
则∫[0:pi/2]b*a*cos^2t
dt
=[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t
dt=a*b*（pi/2）-∫[0:pi/2]b*a*cos^2t
dt
那么
2*∫[0:pi/2]b*a*cos^2t
dt=a*b*（pi/2)
则s=a*b*(pi/4)
椭圆面积s_c=a*b*pi
可见椭圆面积与坐标无关，所以无论椭圆位于坐标系的哪个位置，其面积都等于半长轴长乘以半短轴长乘以圆周率
证完

Answer 2

你将x=r·cosθ和y=r·sinθ代入
(x/a)^2+(y/b)^2 = 1
应该就可以求出r和θ间的关系，表示为r=r(θ)
根据对称性，只求第一象限的就可以，然后4倍。具体过程较麻烦，懒得写了，自己练练手吧！

Answer 3

楼上给的是椭圆的参数方程不是极坐标方程，椭圆的极坐标方程比较复杂