Question

洛必达法则只能适用于0/0或无穷/无穷极限吗？

给出具体解释或证明。
有些时候有些其他极限也可以这么算，但有些时候就算出来的和用其他办法算出来的不符。

Answer 1

当然没有那么局限，洛必达法则用于求解不定型极限，唯一的限制就是只能求可导函数的极限，如果是数列是没有导数的，必须先延拓成函数，再进行求解。

洛必达法则可解基本极限类型为：0/0或无穷/无穷（其实两者是等价的）

其他所有的不定型都可以通过恒等变形转化至0/0型或无穷/无穷型

例如：
0 * 无穷 = 0 / 0
无穷1 - 无穷2 = 1 - 无穷2 / 无穷1
0^无穷 = e^[ln(0^无穷)] = e^[无穷 * ln(0)] = e^[ln(0) / 0]
无穷^0 = e^[ln(无穷^0)] = e^[0 * ln(无穷)] = e^[ln(无穷) / 无穷]
等等

有些时候不能直接用洛必达法则，这样会使计算相当复杂。可以先进行化简，将极限的收敛部分先计算出来，或者运用等价无穷小以及泰勒公式对极限进行等价转化，然后再用洛必达法则，这样可以大大简化计算。

Answer 2

是的，只能是0/0，（无穷/无穷）实际上就是0/0
因为罗毕达法则是通过将极限化成导数的定义式的方式（如f(x)/g(x),分子分母同除x-a（x趋向于a时），然后再分别添一项等于0的项即f(a)和g(a)）再用罗尔定理进行计算的。
至于有些时候得到的答案一样，那是凑巧，比方说x/x在x趋向于1的时候的极限是1，它和x趋向于0时的极限是一样的。
罗毕达法则对于不可导函数行不通，还有一个缺陷就是上下求导以后如果得到的式子没有极限就不能用罗毕达法则了。
一般来说和其他方法算出来的答案不符往往是罗毕达法则在此时不能用的。

Answer 3

洛必达法则只用于不定式，以下只给出0/0形的证明

证明
设有lim(x→a) f(x)=0 lim(x→a) g(x)=0

lim(x→a) f(x)/g(x)=0/0

lim(x→a) f(x)/g(x)
=lim(x→a) (f(x)-f(a))/(g(x)-g(a))
=lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)/(g(x)-g(a))/(x-a)
=lim(x→a) f`(x)/g`(x)