Question

已知二次函数y＝－(x-h)2+k的图像的顶点P在x轴上，且它的图像经过点A(3,-1),与y轴相交于点B，一次函数y＝a

已知二次函数y＝－(x-h)2+k的图像的顶点P在x轴上，且它的图像经过点A(3,-1),与y轴相交于点B，一次函数y＝ax＋b的图像经过点P和点A，并且与y轴的正半轴相交.
(1)求k的值；
(2)这个一次函数的解析式；
(3)求∠PBA的正弦值

Answer 1

（1）∵顶点P在X轴上，当X=h时，y=0 ∴k=0
(2)抛物线过点A(3,-1) -1=-(3-h)^2 3-h=±1
h=2或h=4 P（2，0）或P（4，0）（舍）∵一次函数与Y轴的正半轴相交
一次函数y=ax+b过A（3，-1）；P（2，0）代入：
-1=3x+b,(1)
0=2x+b...(2)由（1），（2）得a=-1 b=2 解析式为y=-x+2
(3)由图像上可知，在△PBA中：B（0，-4），P（2，0），A（3，-1）；∵二次函数为y=-（x-2)^2
PB^2=2^2+4^2=20, PA^2=1+1=2 AB^2=3^2+3^2=18
18+2=20∴△PBA是直角三角形。
sin ∠PBA=PA/PB=√2/√20=√10/10