Question

线性代数计算题 解题过程

设线性方程组 λx1+x2+x3=1
{ x1+λx2+x3=λ
x1+x2+λx3=λ^2
问λ为何值时，方程组有唯一解？或有无穷多解？

答案：当λ不等于1且λ不等于-2时，方程组有唯一解。
当λ=1时，有无穷多解。

求解题过程！

Answer 1

这里由于前后都有参数λ的问题，因此还不能直接用Cramer法则来处理。

只能严格按照增广矩阵来看。

对增广矩阵作梯形变换。

首先解得λ等于或λ等于-2时，前面的矩阵行列式为零。反之，当λ不等于1且λ不等于-2时，矩阵行列式不为零，方程组有唯一解。

λ等于1或λ等于-2时，看增广矩阵。λ等于1时，显然有无穷多解，λ等于-2时，方程无解。

Answer 2

记其系数矩阵为D,D的行列式为|D|=λ(λ^2-1)-(λ-1)+(1-λ)=λ^3-3λ+2=(λ-1)^2(λ+2)
由Cramer法则知,当|D|不为0时,方程有唯一解.即当λ不等于1且λ不等于-2时，方程组有唯一解.

当λ=1或-2时，有无穷多解