Question

高一数学题 指数函数 急急急急急

已知 a>0 b>0 a+b=c 证明 （1）当r>1时 a的r次方+b的r次方<c的r次方 （2） 当r<1时a的r次方+b的r次方>c的r次方

Answer 1

证明：
（1）当r>1时，设r=1+m ,(m>0)
a^r+b^r=a^(1+m)+b^(1+m)=a*a^m+b*b^m
c^r=(a+b)^r=(a+b)^(1+m)=(a+b)*(a+b)^m=a*(a+b)^m+b*(a+b)^m
由于y=x^m这个函数,当x>0,且m>0时为增函数，所以(a+b)^m>a^m,(a+b)^m>b^m

所以a^r+b^r<c^r
(2)当r<1时，设r=1-m (m>0)
同理a^r+b^r=a^(1-m)+b^(1-m)=a/a^m+b/b^m
c^r=(a+b)^r=(a+b)^(1-m)=(a+b)/(a+b)^m=a/(a+b)^m+b/(a+b)^m
由于
1/a^m>1/(a+b)^m并且1/b^m>(a+b)^m
所以当r<1时a的r次方+b的r次方>c的r次方

Answer 2

（1）把a+b=c两边同时乘r方可得a^r+另一个数+b^r=c^r（r大于1）
又因为ab都大于零所以另一个数也大于零所以a的r次方+b的r次方<c的r次方（另一个数是ab的代数式）
(2)和第一问的思路是一样的