Question

用导数法求圆锥曲线的切线 高中数学

求圆，椭圆。双曲线。抛物线。的切线

还有求函数的导函数时说的内函数和外函数不清楚。请指教

谢谢
用导数法
用倒数法求切线，1，圆 （X-m)^2+(y-n)^2=1
2, （X-m）^2/a^2+(y-n)^2/b^2=0
3,（X-m）^2/a^2-(y-n)^2/b^2=0

拜谢

Answer 1

设在椭圆上有一点P（x1,y1)经过此点椭圆的切线方程为：x1*x/a^2+y1*y/b^2=1

方法一：设切线的方程为Y-Yo=k(X-Xo)即Y=k(X-Xo)+Yo ①
把①式代入椭圆方程X^2/a^2+Y^2/b^2=1,得：
X^2/a^2+[k(X-Xo)+Yo]^2/b^2=1即：
b^2·X^2+a^2·[k^2·(X-Xo)^2+Yo^2+2Yo·k(X-Xo)]=a^2·b^2即：
(b^2+a^2·k^2)X^2-(2a^2·k^2·Xo-2a^2·k)X+(a^2·k^2·Xo^2+a^2·Yo^2-2a^2·k·Xo-a^2·b^2)=0
由于切线Y-Yo=k(X-Xo)与椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1相切，所以上式方程有且只有一个实数解。
则△=(2a^2·k^2·Xo-2a^2·k)^2-4(b^2+a^2·k^2)(a^2·k^2·Xo^2+a^2·Yo^2-2a^2·k·Xo-a^2·b^2)=0
则有k=-(b^2·Xo)/(a^2·Yo)
把k=-(b^2·Xo)/(a^2·Yo)代入切线方程Y-Yo=k(X-Xo)，得：
(a^2·Yo)(Y-Yo)=-(b^2·Xo)(X-Xo)即：
a^2·Yo·Y+b^2·Xo·X=a^2·Yo^2+b^2·Xo^2 ②
又把点(Xo,Yo)代入椭圆方程X^2/a^2+Y^2/b^2=1，得：
Xo^2/a^2+Yo^2/b^2=1 即 b^2·Xo^2+a^2·Yo^2=a^2·b^2 ③
把③式代入②式，得：
a^2·Yo·Y+b^2·Xo·X=a^2·b^2
等式两边同时除以a^2·b^2，得：
Xo·X/a^2 + Yo·Y/b^2=1
方法二：用隐函数求导
有 椭圆方程两边分别对x求导：
b²x²+a²y²-a²b²=0

2b²x+2a²y*(dy/dx)=0
(dy/dx)=-b²x1/(a²y1)

即k=-b²x1/(a²y1)

则切线方程是：y-y1=k*(x-x1)=[-b²x1/(a²y1)](x-x1)
(y-y1)(a²y1)+b²x1(x-x1)=0
a²yy1+b²x1x-（a²y1²+b²x1²）=a²yy1+b²x1x-a²b²=0
即：xx1/a²+yy1/b²=1

双曲线过点（x0,y0)的切线为
x0*x/(a^2)-y0*y/(b^2)=1

证明：x²/a²-y²/b²=1.对x求导：2x/a²-2yy′/b²=0.
（x0,y0）的切线斜率y′=x0b²/y0a²
（x0,y0）的切线方程：（y-y0）＝x0b²/y0a²（x-x0）.
注意到b²x0²-a²y0²＝a²b².
切线方程k可化简为：x0x／a²-y0y／b²＝1.

求抛物线:y^2=2px 在点(a,b)处切线的方程
解:抛物线方程两边对x求导:得:
2yy'=2p 即 y'=p/y
故抛物线在(a,b)处切线的斜率为p/b
所以在(a,b)处切线方程为: y-b=（p/b）(x-a)
又: b^2=2pa 所以 y+b=p(x+a)
即抛物线y^2=2px在(a,b)处切线方程为: y+b=p(x+a)

Answer 2

这个你没有具体的题目，我也只能抽象的说说吧。导数的几何意义就是切线斜率，所以知道一个点（切点）和斜率（就是切点处的导数）是能写出切线方程的。我觉得你的问题是不是想问怎么求那些曲线的导数吧，下面以椭圆为例说明一下吧！
设椭圆方程为：(x²/a²)+(y²/b²)=1,求过点（m,n)的切线方程。
解：在椭圆方程两边对x求导：
2x/a² + (2y/b²)y'=0
（难点在第二项，注意理解：y是x的函数，要对x求导，可以先对y求导，然后在乘上y对x的导数，就是说y是x的函数，第二项实际上用了复合函数的求导法则）
解出：y'=-(xb²)/(ya²)
所以点（m,n)处的切线斜率为k=-(mb²)/(na²)，
下面自己可以写出切线方程了吧！

Answer 3

导数好像不能求圆锥曲线的切线
因为，能求导数，说明是函数，函数是一一对应的，而圆，椭圆，双曲线，抛物线不是一一对应。
如：圆，X轴上的一点，对应Y轴上的2点

Answer 4

用导数有点繁。对圆锥曲线Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0,设点M(x0,y0)是曲线上一点，过点D的切线方程是：A(x0x)+B(y0y)+C*(x0+x)/2+D*(y0+y)/2+E=0.具体规律是，用x0*x代替方程中的x^2,用（x0+x)/2代替x,用（y0*y)代y^2,用（y0+y)/2代替方程中的y.得到的直线方程即是过点M(x0,y0)的切线方程。

Answer 5

先写圆锥曲线的参数方程x=x(t);y=y(t);再分别对t求导得x’=x’（t）；y’=y’（t）。则y’（t）/x'(t)就是该点切线斜率，知点知斜就知线