Question

利用函数的单调性,证明下列不等式（1）sinx<x,x∈(0,π） （2）x-x^2＞0.x∈（0，1）

Answer 1

用导数：f`(x）表示f(x)的导数。
1. 设f(x)=sinx-x，f`(x)=cosx-1，当x∈(0,π）时，f`(x）<0，
∴f(x)在(0,π）上为递减函数，f(x)<f(0)=0,即sinx-x<0，sinx<x；
2.设f(x)=x-x^2,f`(x)=1-2x.当x=1/2时，f`(x)=0,f(1/2)为一个极值。
0<x<1/2时，f`(x)>0,∴f(x)在（0，1/2)增，f(x)>f(0)=0,即x-x^2＞0；
1/2<x<1时，f`(x)<0,∴f(x)在（1/2，1)减，f(x)>f(1)=0,即x-x^2＞0；
f(1/2)=1/4>0
综上，可得：x-x^2＞0.x∈（0，1）

Answer 2

这个很简单啊
解答如下：
（1）设F(x)=sinx-x(x属于0到π之间);
则F(x)求导得到：[F(x)]’=cosx-1在0到π之间始终小于0，说明F（x）在0到π之间单调递减，当x=0时取得最大数值，最大数值等于F（0）=sin0-0=0(由于x始终大于0的，不肯取到0，所以F（x）在0到π之间始终小于0)，所以有sinx<x,x属于（0，π）
（2）此题目方法如上题一样，更简单些！
希望能对你有所帮助，给点分吧