Question

一道微积分求极限的题

求极限:x→∞lim(2/π arctanx)x 括号外面的X是在右上角的 是括号的x次方

Answer 1

lim[(2/π)arctanx]^x
x→∞
=lim[1+(2/π)arctanx-1]^x
x→∞
=lim[1+(2/π)arctanx-1]^【{1/[(2/π)arctanx-1]}[(2/π)arctanx-1]x】
x→∞
=lim e^{[(2/π)arctanx-1]x} 【指数是0×∞型】
x→∞
=lim e^{[(2/π)arctanx-1]/x^(-1)} 【指数是0/0型】
x→∞
=lim e^{[(2/π)/(1+x²)]/[-x^(-2)]} 【指数是0/0型】
x→∞
=lim e^{(-2/π)x²/(1+x²)] 【指数是∞/∞型】
x→∞
=lim e^{-2/π(1+1/x²)] 【指数是定式】
x→∞
=e^(-2/π)

Answer 2

你好：
先使x→∞则2/π arctanx→1，判断所求极限类型为1的∞次方型，想到要构造出两个重要极限的第二个的形式
x→∞lim(2/π arctanx)x
现在算x→∞lim(arctanx)x =x→∞lim[1+（2/π arctanx-1)]^[1/(2/πarctanx-1) *x(2/πarctanx-1)]=x→∞lim{[1+（2/πarctanx-1)]^[1/(2/πarctanx-1)]} ^x(2/πarctanx-1)
令t=2/πarctanx-1,x→∞时，t→0
上式=t→0lim[(1+t)^(1/t)]^(xt)=t→0lim[(1+t)^(1/t)]^[(t→0lim(xt)]=e^0=1
希望对你有所帮助，谢谢！

Answer 3

因为:当X→无穷时,arctanx→派/2 .因此括号内的值为1.而1的无穷次方仍为1.故最后结果为:1