Question

椭圆x^2/25+y^2/9=1的焦点F1F2，P为椭圆上的一点已知PF1⊥PF2则△F1PF2的面积是多少？

要详细过程

Answer 1

我来个有技巧的做法：建立直角系，以O为圆心，半焦距为半径画圆，显然该圆与椭圆有四个交点，设在第一象限的交点为P，连接OP、PF2，则△OPF2为等腰三角形，且△OPF2与△F1PF2等高，设高H
由x^2/25+y^2/9=1与x^2+y^2=16联立解得y=9/4
即H=9/4
其底为焦距长，所以S△F1PF2=1/2X8X9/4=9

Answer 2

这种三角形是有公式的
∠F1PF2=θ
根据余弦定理
|F1F2|²=|AF1|²+|AF2|²-2|AF1||AF2|cosθ=4c²——①
(|AF1|+|AF2|)²=|AF1|²+|AF2|²+2|AF1||AF2|=4a²——②
①-②得
|AF1||AF2|=2(a²-c²)/(1+cosθ)=2b²/(1+cosθ)
△F1PF2的面积为S=|AF1||AF2|sinθ /2=b²sinθ/(1+cosθ)=b²tan(θ/2)
θ=90°，b²=9
S=9