Question

求一道微积分的应用题（涉及到生活方面）需带答案

最近有一个作业，是要自己找或者创造一道微积分的应用题，难度适偏难，需要有解法。
最重要的是：要能在纸盒子里面把情景“做”出来。

比如：关于棒球场的距离，河水的流速问题，就可以用彩纸把这些情景“做”出来，但是有些关于经济的题目是不能“做”出来的。

希望大家能踊跃的创造或者寻找，好的答案我追加50分，但是最佳答案只有一个，越快越好，谢谢。
看清楚题意噢。
一楼的，请问你的题目怎么在一个盒子里面做出来？

Answer 1

一个装满水的花瓶，其纵截面如图，是一个抛物线y=ax^2（a>0），问当倾斜角α为多少时，正好倒掉了一半的水？ 

答案：先算出瓶子直立水满时的体积用一个积分就可以了，结果等于V=πh^2/(2a);

第二步，假设倾斜角为α，正好倒掉了一半的水，重新建立坐标系，令此时瓶的对称轴为y轴，垂直于瓶的对称轴的射线为x轴，然后将坐标系还原为常规正立的图形，此时瓶里水的横截面图像为抛物线和水面所在直线的公共部分，注意此时水面所在直线与x轴的倾角是刚好为题目所提到的倾斜角α(如原图所示，倾斜后的水平面此时与x轴平行，因此水面与瓶的对称轴的夹角为90-α，也即在新建坐标系下，水面所在直线与y轴的夹角也为90-α，因此它与x轴的夹角为α)，所以可以设该直线方程为y=tanα*x+b，假设直线与抛物线的交点为A(x0,y0),B(sqrt(h/a),h))(左A,右B)(B点的纵坐标显然等于瓶子的高度h)，先利用B点坐标求出直线的截距b,然后联立直线与抛物线方程可以求的A点坐标；

第三步，就是求此时瓶中水的体积，可以将图像分为两部分，一部分是直线y=y0与抛物线所交部分，第二部分是直线y=y0、直线y=tanα*x+b及抛物线y=ax^2（a>0)相交部分。第一部分体积为V1=∫π*(x^2)dy=∫π*y/ady（积分上下限为0和y0）;第二部分体积为V2=∫π*((sqrt(y/a)-(y-b)/tanα)/2)^2dy(积分上下限为y0和h);因此根据：

    V1+V2=V/2=π*h^2/(4a)=∫π*y/ady（积分上下限为0和y0）+∫π*((sqrt(y/a)-(y-b)/tanα)/2)^2dy(积分上下限为y0和h)可以解得所求α值。

Answer 2

一根长100米的绳子，每米绳子质量是1千克，绳子的上端在高的塔吊上，下端自由悬空，求把绳子全部拉到塔吊上所需的功。
解:考虑离上端距离为h长度为dh的短段，把此短段拉到上端位置所需的功是:短段的重力*h=1*dh*g*h。把绳全部拉到上端需要的功就是对上面的短段功进行积分，h的下限是0，上限是100，积分值是5000g。