Question

2004年考研数一第八题:设函数f(x)连续,且f'(0)>0,则存在a>0,使得f(x)在(0,a)内单调增加 这句话为什么错?

总能找出a使之单调递增的啊？
2楼的，题目好像说了f（x）连续
3楼的，的确在（0，+∞）不能确定在单调，但关键的问题是题目中说存在a使得这个区间内单调。在0附近找个极小的a是存在的啊。

Answer 1

只说f’（0）>0，而（0，a）中不含0，所以是错的。

补充:别二楼三楼的问了，我说的就是对的。
题目只说f’（0）>0，而你无法保证在x不等于0的时候，导数也大于零。题中只说了f（x）连续，没说f’（x）也连续，所以在f’（0）>0的情况下，无法保证在（0，a）内，f’（x）也大于0，哪怕a只比0大一点点都不行。
如果本题说了f’（x）连续，就对了。因为在导数连续的情况下，f'(0)>0,可以保证在x>0的一个非常小的区域内，f'(x)>0。
这么说你明白了么？

Answer 2

我觉得，题面只是说了原函数的一阶导数在X=0的时候大于0,我们无法确定函数f'(x)在x∈（0，+∞）范围也大于零呀！既然无法确定，那么也无法知道原函数在x∈（0，+∞）此区间内是否是一个增函数，这样最后一句话，也是不确定的，所以就是错的。

Answer 3

因为可能在（0，a）内f（x）的二阶导数=0，如果是这样的话，在(0,a)内f'(X)=0恒成立了，那原函数就不是单调增了，而是个常函数了。

Answer 4

如果所给的函数是一个不连续的函数，在0点恰好为分段函数，那么这个就不成立。
例如f(x)=x (x《0） f(x)=-x (x>0)