Question

在四边形ABCD中，AD等于DC，角ADC等于60度，角ABC等于30度，求证BD的平方等于AB的平方加BC的平方

Answer 1

如图:(楼主您学过旋转吧)

解:辅助线:把△ABD以D为旋转中心,逆时针旋转60°,使其与CD边重合,并连接BB'

∵△ABD旋转了60°到△CB'D.

∴△ABD≌△CB'D.

∴AB=CB',BD=B'D,∠1=∠3.

又∵∠1+∠2=60°.

∴∠2+∠3=60°.

∵BD=B'D.

∴等边三角形BB'D.

∴BD=B'B.

又∵∠ABD+∠DBC=30°.

∴∠DBC+∠DB'C=30°.

∵∠BDB'=60°

∴∠DBC+∠DB'C+∠BDB'=∠BCB'=90°(对于这个,楼主您也应该知道吧)

∴RT△BCB'.

∴BC²+CB'²=BB'².

即AB²+BC²=BD².

Answer 2

作辅助线，角CBE=60度，角BCE=60度，BE和CE交于E点，
连结AE。
显然，三角形ADC、三角形BCE是等边三角形
根据AC=DC，BC=CE，角BCD=角ECA
可知三角形BCD和三角形ECA全等
可知BD=AE
另外，在等边三角形ECA中，BC=BE
因为角ABC=30，角CBE=60
所以角ABE=90
所以在直角三角形ABE中，AE的平方等于AB的平方加BE的平方
因为AE=BD BC=BE
所以BD的平方等于AB的平方加BC的平方