Question

八年级二元一次方程组所有题型

Answer 1

中考二元一次方程组的应用考察的几种方式
说明：本文适合八年级二元一次方程组的应用复习
列方程解应用题一直是考试竞赛的热门题型之一，而利用二元一次方程组解应用题更是八年级上学期学习的重点。本文试以几道2005年的中考题为例，谈谈中考题中列二元一次方程组解应用题考察的几种方式。
一、直接列方程组解应用题
例一：（2005年北京市人教）夏季，为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施。某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度；再对乙种空调清洗设备，使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1℃后的节电量的1.1倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电405度。求只将温度调高1℃后两种空调每天各节电多少度？
分析：本题有四个未知量：调高温度后甲空调节电量、调高温度后乙空调节电量、清洗设备后甲空调节电量、清洗设备后乙空调节电量。相等关系有调高温度后甲空调节电量－调高温度后乙空调节电量＝27、清洗设备后乙空调节电量＝1.1×调高温度后乙空调节电量、调高温度后甲空调节电量＝清洗设备后甲空调节电量、清洗设备后甲空调节电量＋清洗设备后乙空调节电量＝405。甲种空调每天节电x度，乙种空调每天节电y度，根据前第二个和第三个相等关系可以表示出另外两个未知量，然后根据第一个和第四个相等关系列出两个二元一次方程组成方程组即可。
解：设只将温度调高1℃后，甲种空调每天节电x度，乙种空调每天节电y度
依题意，得：
解得：
答：只将温度调高1℃后，甲种空调每天节电207度，乙种空调每天节电180度。

二、利用二元一次方程求线段长
例二：（2005年北京市丰台区）用8块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每块地砖的长与宽。

分析：本题的未知量有两个，就是每块地砖的长和宽，根据矩形长为60可得一个方程，由于矩形的上下两个对边相等，所以又能得到一个方程，从而组成一个方程组。
解：设每块地砖的长与宽分别为x和y，根据题意得：

解得：
答：每块地砖的长为45，宽为15。
三、利用二元一次方程组解信息题
例三：(2005年日照市)市政府根据社会需要，对自来水价格举行了听证会，决定从今年4月份起对自来水价格进行调整． 调整后生活用水价格的部分信息如下表：
用水量（m3） 单价（元/m3）
5m3以内（包括5m3）的部分 2
5m3以上的部分 x

已知5月份小晶家和小磊家分别交水费19元、31元，且小磊家的用水量是小晶家的用水量的1.5倍．
请你通过上述信息，求出表中的x.
分析：通过小晶家和小磊家所交的水费可知，他们两家用水量都超过5 m3，而且用水量不知，因此我们先设小晶家5月份用水y m3，则小磊家5月份用水1.5y m3。可列方程组 ，这实际上是一个关于xy和x的二元一次方程组，可以解得 ，进而解得 。

四、利用二元一次方程解不等关系
例四：（2005年湖州市）某高速公路收费站，有m（m>0）辆汽车排队等候收费通过。假设通过收费站的车流量（每分钟通过的汽车数量）保持不变，每个收费窗口的收费检票的速度也是不变的。若开放一个收费窗口，则需20分钟才可能将原来排队等候的汽车以及后来接上来的汽车全部收费通过；若同时开放两个收费窗口，则只需8分钟也可将原来排队等候的汽车以及后来接上来的汽车全部收费通过。若要求在3分钟内将排队等候收费的汽车全部通过，并使后来到站的汽车也随到随时收费通过，请问至少要同时开放几个收费窗口？
分析：本题有三个未知量：每分钟可收费通过的汽车辆数、每分钟的车流量、需要开放的收费窗口数，而相等关系只有两个，那就是“若开放一个收费窗口，则需20分钟才可能将原来排队等候的汽车以及后来接上来的汽车全部收费通过；若同时开放两个收费窗口，则只需8分钟也可将原来排队等候的汽车以及后来接上来的汽车全部收费通过。” 题目中还有一个不等关系，那就是：“要求在3分钟内将排队等候收费的汽车全部通过，并使后来到站的汽车也随到随时收费通过”，因此我们可以列出一个由两个二元一次方程和一个一元一次不等式组成的组合。由两个方程解出两个未知数的值，最后代入不等式，求出收费窗口数的取值范围。
解：设每个收费窗口每分钟可收费通过x辆汽车，每分钟的车流量为y辆，又设需要开放n个收费窗口，才能在3分钟内将排队等候的汽车全部收费通过，根据题意得：
由①、②可得： ， ④
将④代入③得：
∵ m > 0，∴n ≥ ，n取最小正整数，∴ n ＝ 5
答：至少要开放5个收费窗口。

五、利用二元一次方程解决一次函数问题
例五：(2005年黑龙江)某企业有甲、乙两个长方体的蓄水池，将甲池中的水以每小时6立方米的速度注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y(米)与注水时间x(时)之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：
(1)分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式；
(2)求注水多长时间甲、乙两个蓄水池水的深度相同；
(3)求注水多长时间甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同．

分析：(1)我们可以设y甲=k1x+b1．把(O，2)和(3，0)代人，解得kl=-23，bl=2，∴ y甲=-23x+2，设y乙=k2x+b2． 把(0，1)和(3，4)代入， 解得k2=1，b2=1，∴ y乙=x+1
(2)要求甲、乙两个蓄水池水的深度相同，实际上是求两个一次函数的交点坐标，将两个一次函数联立起来组成一个二元一次方程组，方程组的解就是两个一次函数的交点坐标。方程组为： 解得x=35．所以注水35小时甲、乙两个蓄水池中水的深度相同
(3)我们可设甲蓄水池的底面积为S1，乙蓄水池的底面积为S2，t小时甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同．根据题意，得2Sl=3×6， (4-1)S2=3×6，从而解得Sl=9、
S2=6，又因为S1（-23t+2）=S2（t+1），所以解得t=1。从而 注水1小时甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同