Question

P是△ABC所在平面外一点,且PA⊥平面ABC,若O.Q分别是△ABC和△PBC的垂心

如图所示,P是△ABC所在平面外一点,且PA⊥平面ABC,若O.Q分别是△ABC和△PBC的垂心
求证：OQ⊥平面PBC

Answer 1

延长BQ直线与PC交于D
延长BO直线AC交于E
则BQOEF在一个平面内
∵ O、Q为三角形ABC和PBC的垂心
∴ BD⊥PC,BE⊥AC
∵ PA⊥平面ABC,BE在平面ABC内
∴ PA⊥BE
∴ BE⊥平面PAC,PC在平面PAC内
∴ BE⊥PC
∴ PC⊥平面BED(BD、BE交线组成的平面)
∴ PC⊥OQ
同理，延长CO、CQ直线交AB、PB于F、G
可以得到BG⊥OQ
即：OQ⊥PC,OQ⊥PB
∴ OQ⊥平面PBC
本题需要注意的是，证明OQPA在一个平面内，总是觉得别扭，尽管确实他们在一个平面内。 而且还要证明PQ、PO交于BC上同一个点，不证明是不能直接用的。尽管他们确实交于一点

Answer 2

证明：

∵ O是△AOC的垂心
∴ BC⊥AE

又∵Q是△PBC的垂心
∴BC⊥PE

∴BC⊥面APE

∵ OQ面APE，∴ OQ⊥BC．

又∵ PA⊥面ABC，BC平面ABC，

∴ BF⊥PA，又∵ O是△ABC垂心，

∴ BF⊥AC．

∴ BF⊥面PAC，则FM是BM在平面PAC上的射影．

∵ BM⊥PC，据三垂线定理的逆定理，

∴ FM⊥PC，从而PC⊥平面BFM．

又OQ平面BFM，

∴ OQ⊥PC，又PC∩BC=C，

∴ OQ⊥平面PBC．

我真不爱写着符号！！贼麻烦的！！

要是满意话，还望多加几分！！

哎，真麻烦！