P为△ABC所在平面外一点,若P在平面ABC内射影是△ABC的垂心， 求证：A在平面PBC上的射影也是△PBC的垂心
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就借助楼上给出的图像，解答如下：
因为点P在面ABC上的射影是底面垂心，可以证明出：PO⊥AB，CF⊥AB，则：AB⊥平面PCF，则：AB⊥PC。同理可得：PA⊥BC，PB⊥AC。也就是说这个四面体是【对边异面垂直型的】
又：AH⊥平面PBC，则AH⊥PC，因AB⊥PC，则PC⊥平面ABH，则：PC⊥AH，也就是说AH是三角形PBC的高，同理可证，PH⊥BC，CH⊥PB，则点H是三角形PBC的垂心。
【总结】此题是三垂线定理及逆定理的运用最典型的例子。另外，凡是对边垂直(异面垂直)的四面体，其任意一个顶点在底面上的射影都是底面的垂心。本题是利用三垂线定理证明此四面体是对边垂直型四面体。
因为点P在面ABC上的射影是底面垂心，可以证明出：PO⊥AB，CF⊥AB，则：AB⊥平面PCF，则：AB⊥PC。同理可得：PA⊥BC，PB⊥AC。也就是说这个四面体是【对边异面垂直型的】
又：AH⊥平面PBC，则AH⊥PC，因AB⊥PC，则PC⊥平面ABH，则：PC⊥AH，也就是说AH是三角形PBC的高，同理可证，PH⊥BC，CH⊥PB，则点H是三角形PBC的垂心。
【总结】此题是三垂线定理及逆定理的运用最典型的例子。另外，凡是对边垂直(异面垂直)的四面体，其任意一个顶点在底面上的射影都是底面的垂心。本题是利用三垂线定理证明此四面体是对边垂直型四面体。
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追问
为什么AH是△PBC的高？
追答
1、AH⊥平面PBC，则：AH⊥PC --------------------①
2、刚才已经证明了：AB⊥PC -----------------------②
3、由①②得：PC⊥平面ABH，所以有：
PC⊥AH
即在三角形PBC中，有：AH⊥PC
所以，AH是三角形PBC的一条高。
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