Question

二次函数的奥数题，急求！！！

已知y=x2+(2m+1)x+m2-1,x属于实数。
（1）求证无论m为何值，函数图象顶点在同一直线L上。
（2）求证任一平行L且于抛物线相反直线，被各抛物线所截的线段相等

Answer 1

(1)配方得：y=[x+(2m+1)/2]^2-(m+5/4) ，
令-(m+5/4)=0得m=-5/4 ，
即m= -5/4 时，ymin=0.

设顶点为(x，y)，由上面知：
x=- (2m+1)/2且y=-m-5/4消去参数m得
l：4x-4y-3=0
故诸抛物线顶点都在直线4x-4y-3=0上.�

(2)设平行于l的直线为x-y=a(a≠3/4 )从方程组
x-y=0
y=x^2+(2m+1)x+m2-1
中消去y后并依x聚项整理得
x^2+2mx+m^2-1+a=0，
其中，Δ=(2m)^2-4(m^2-1+a)=4(1-a).
当Δ≥0即4(1-a)≥0(a≠3/4 )，
即a∈(-∞，3/4 )∪(3/4,1] 时，
直线x-y=a与抛物线相交，
当且仅当m<1时，直线x-y=a与抛物线不相交.�

设l//l1且l1交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则|AB|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 ]
=√{(x1-x2)^2+[(x1-a)-(x2-a)]^2}
=√2*√[(x1-x2)^2+4x1x2]
=√2*√[(-2m)^2-(m^2-1+a)]
=√2*√[4(1-a)]
=2√2*√(1-a)与m无关，�
故任一条平行于l而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等，且都为2√2*√(1-a) .

Answer 2

（1）y=x²+(2m+1)x + m²-1
顶点横坐标x=-m-（1/2）
顶点纵坐标y=-m - 5/4
把m=-x-1/2 带入y=-m - 5/4
得：y=x-3/4
即无论m为何值函数图象顶点在同一直线y=x-3/4 。

（2）你的这个问题，不明确，可能是所有能相交的平行线。
设直线为y=x+b
带入抛物线：
（x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=4m²-4(m²-b-1)=4b+4
(y1-y2)²=4b+4

所截的线段=2√(2b+2)

Answer 3

1.设f(x)=x^2+(2m+1)X+m^2-1的顶点P(x,y)
则
Ff(x)=x^2+(2m+1)X+m^2-1=[x+(2m+1)/2]^2-m-5/4
x=-(2m+1)/2=-m-1/2
y=-m-5/4
消去m
得:
y=x-3/4
即无论m为何值，函数图象顶点在同一直线L：y=x-3/4上