Question

两道立体几何题,解释得清楚的追加100分!!

1.半径为R的三个球两两外切放在桌面上,与这三个球都外切的第四个小球与桌面相切,则小球半径为____

2.一个倒立圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在此容器中注入水并且放入一个半径为r的铁球,这是水面恰好与球面相切,问将球从圆锥内取出后,圆锥内水面的高是多少?

(第一题答案为三分之一R,第二题为15开三次方再乘以r)
请写出具体过程,最好画出示意图.

Answer 1

我试试，看能不能说清楚。

1.上图是桌面上三个R球（没有画出）球心、在桌面的切点的位置，及小球位置

为了计算小球半径r,取蓝色截面，画成中图。

AB＝R, AD＝√3R. OG＝r. BG＝√3R/3, GC＝OF＝2√3R/3, FD＝R-r.OD＝R+r.

看Rt⊿OFD:OD²＝OF²+FD².  即（R+r）²＝（R-r）²+（2√3R/3）².

解得r＝R/3.

2.下图。锥高＝3r，锥底半径＝√3r，V锥＝3πr³. V球＝4πr³/3.

V（锥去球）＝（3-4/3）πr³＝5πr³/3,

h³/（3r）³＝V（锥去球）/V锥＝（5/3）/3.   h＝（15）^（1/3）r.

（希望你能够看明白。分---你留着慢慢用，我只是喜欢作题。谢谢！）

Answer 2

1、分析：如果单按四个球体画图的话比较复杂，不妨把已知条件转化成一个简单的问题。只看四个球的球心，三个大球两两外切，且半径相同，把它们的球心相连的话是一个与桌面平行的等边三角形（设为△A1A2A3），边长为2R(两球半径之和R+R=2R)。而小球与这三个球和桌面都相切，所以要注意的是小球的球心(设为B)一定不会在大球球心所在的那个平面上，而是在那平面以下。所以将这四个球的球心相连是一个三棱锥(图片传不上去 ⊙﹏⊙b汗)。设小球半径为r,此三棱锥面A1A2A3上的高为h。小球球心B距桌面距离为r(小球与桌面相切)，大球球心距桌面为R（同理），所以h=R-r。设△A1A2A3中心为O，连接OA1B，构成△OA1B。
由已知条件得：A1B=R+r(大小球半径之和)，OB=h，OA1=（2/√3）R(由等边三角形计算可得)，根据勾股定理，h²+[(2/√3）R]²=(R+r)²
解得 3r=R

2、此题的平面图可以画成一个正三角形加上一个内切圆形（小铁球放进容器里会沉底，所以与圆锥形容器相切，而水平面又与小球相切）
不难算出，有水的那部分的圆锥形体积=3πr³(圆锥的底面半径为√3 r ,高为3r)，小球体积为4/3πr³ ，故水的体积为圆锥形体积与小球体积之差，为5/3πr³。拿掉小球水在容器里又会是呈圆锥体的，设将球取出后的水面高为h。因为两个圆锥体是相似的，所以原来有水和球的圆椎体的体积与后来只有水的圆锥体的体积之比是高的立方，即 5/3πr³ ：3πr³=h³ : (3r)³
所以h=(³√15)r